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Trachtenberg – Multiplizieren mit 11

Das Multiplizieren mit 11 habe ich ja bereits erläutert. Hier noch einmal die die Vorgehensweise, damit die Regel einen eigenen Post bekommt.

1253 x 11 =

  1. Schritt:

Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben
_ _ _ _ 3

  1. Schritt:

Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8
Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an.
_ _ _ 5 3

  1. Schritt:
    Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7
    Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an.
    _ _ 7 5 3
  2. Schritt:
    Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3
    _ 3 7 5 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253
    Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1
    Somit 0 + 1 = 1
    1 3 7 5 3

Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss.

Gleich noch eine Aufgabe zum Üben:

45762 x 11 = 045762 x 11

  1. Schritt:

Man nimmt die 2. Diese hat keinen rechten Nachbarn also wird sie wieder einfach hingeschrieben
– – – – – 2

  1. Schritt:

Jetzt nimmt man die 6. Diese hat die 2 als rechten Nachbarn. Das heißt: 6 + 2 = 8
Die 8 wird angeschrieben
– – – – 8 2

  1. Schritt:

Jetzt wird die 7 genommen. Rechter Nachbar ist die 6. Das heißt: 6 + 7 = 13
3 wird angeschrieben. Die 1 ist ein übertrag und muss zur nächsten Stelle mitgenommen werden.
– – – 3 8 2

  1. Schritt:
    Jetzt wird die 5 genommen. Der rechte Nachbar ist die 7. 7 + 5 = 12. Vorsicht nicht den Übertrag von vorher vergessen!! 12 + 1 = 13. Also wird die 3 angeschrieben und wieder ein Übertrag von 1
    – – 3 3 8 2
  2. Schritt:
    Jetzt wird die 4 genommen. Rechter Nachbar ist die 5. Somit können wir rechnen:
    5 + 4 + 1 = 10
    Also wird die 0 hingeschrieben, die 1 wird mitgenommen
    – 0 3 3 8 2
  3. Schritt:
    Jetzt kommt noch die 0 (die immer angefügt werden muss). Der rechte Nachbar ist die 4. Also 4 + 0 + 1 = 5 (Übertrag nicht vergessen)

5 0 3 3 8 2

Die letzte Aufgabe zum Üben in der Kurzform

3562 x 11 =
03562 x 11 =
(0+3)(3+5)(5+6)(6+2)2 = 39182

Das nächste Mal werden wir uns beim Trachtenbergsystem mit der Multiplikation mit 12 beschäftigen.

Das Trachtenbergsystem und was dahinter steckt

Heute wollen wir uns einmal etwas mit dem Trachtenberg System für das Kopfrechnen befassen. In der englischen Literatur wird es auch Trachtenberg Speed System genannt. Trachtenberg war ein russischer Ingenieur und Gründer des Mathematischen Instituts in der Schweiz. Er arbeitete an einem System, welches das Kopfrechnen extrem vereinfachen sollte. Dabei legte er sich die folgenden Regeln auf: Nur das kleine Einmaleins muss man kennen. Und selbst das nur bis zur Zahl 5. Ab Multiplikationen mit der Zahl 6 beginnen schon seine Regeln zu greifen. Das System umfasst die Multiplikation mit ein- und mehrstelligen Zahlen. Das Dividieren, das Addieren bzw. Subtrahieren und das Wurzel ziehen.

Natürlich ist das System mathematisch erklärbar und kein Hokuspokus. Die Erläuterungen werde ich für alle Interessierten später einmal extra Einträge widmen. In meinen Augen ist der große Unterschied zu den anderen Methoden, die ich bereits erläutert habe, bzw. sich hier auf diesem Blog befinden, dass es beim Trachtenberg System nicht um das „Showrechnen“ selbst geht. Das Problem dabei ist nämlich, dass die Zahlen immer von hinten her berechnet werden. Dies stellt, wie ich schon oft erwähnt habe ein Problem dar. Man beginnt ja immer die Zahl von vorne zu lesen. Damit erscheint es dem Beobachter wieder langsamer, wenn man erst die ganze Zahl durchrechnen muss, um dann ein Ergebnis präsentieren zu können.
Jedoch und warum ich vor allem an diesem System einen Gefallen gefunden habe: Es ist einfach unkompliziert. Bei den anderen Methoden zum Schnellrechnen muss man viel mit Erfahrungswerten arbeiten, muss viel auswendig wissen und gut abschätzen können. Dies ist hier alles nicht notwendig. Man kann einfach loslegen und innerhalb kürzester Zeit ist man Fähig Multiplikationen im Kopf zu berechnen von denen man sonst nur träumen konnte.
Ein weiterer großer Vorteil des Trachtenberg Systems ist, dass es sehr einfach gehalten wurde und auch speziell dafür konzipiert wurde, Grundschülern beigebracht zu werden. Erfahrungsberichte zeigen (vor allem in Amerika) auf wie einfach Grundschüler multiplizieren können, nachdem das Trachtenberg-System in der Schule eingeführt wurde. Man erspart den Kindern das auswendig lernen von Multiplikationstabellen und erspart ihnen vielleicht somit auch die ersten schlechten Erinnerungen an die Mathematik. (Was wirklich schrecklich ist, wenn die Kinder schon in der Grundschule die Lust an diesem wunderbaren Fach verlieren und oft für ihr Leben „gezeichnet“ sind)

Viele werden sich nun fragen: Was ist das Trachtenberg System denn jetzt überhaupt? Was kann man sich darunter vorstellen?

Ein simples Beispiel dafür haben Sie bereits kennengelernt, wenn sie den Eintrag „Multiplikation mit der Zahl 11“ durchgearbeitet haben. Diese Methode ist sehr ähnlich. Nur das sie im Trachtenbergsystem etwas anders angewandt wird. Hier soll es ein Beispiel geben:

1253 x 11 = ?

Nun heißt die Regel nicht, dass wir die letzte und erste Ziffer nehmen und jeweils wieder an den Rand schreiben, sondern folgender maßen:
Man nimmt sich jeweils eine Ziffer und addiert den rechten Nachbarn zu dieser Ziffer. Man beginnt mit der rechten Seite (also von hinten)

Eigentlich ganz einfach. Was genau gemeint ist, zeig ich Ihnen jetzt

1253 x 11 =

  1. Schritt:

Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben
_ _ _ _ 3

  1. Schritt:

Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8
Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an.
_ _ _ 8 3

  1. Schritt:
    Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7
    Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an.
    _ _ 7 8 3
  2. Schritt:
    Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3
    _ 3 7 8 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253
    Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1
    Somit 0 + 1 = 1
    1 3 7 8 3

Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss.

Haben Sie die Parallelen zu der bereits bekannten Methode gesehen? Hier sind wir so vorgegangen, dass wir einfach die die erste und die Letzte Zahl wieder abgeschrieben haben. Dies ist hier auch immer zwangsläufig der Fall. Denn die letzte Zahl hat keinen Nachbar, dass heißt diese bleibt immer so wie sie ist. Und die erste Zahl hat immer die 0 voran. Somit bleibt diese auch immer erhalten.

Das soll erst einmal genug vom Trachtenberg System sein. Es gibt noch viele spannende Regeln, die ich alle nacheinander erläutern will. Zum Schluss gebe ich noch einen kurzen Überblick über die Regeln zur Multiplikation

  • Multiplizieren mit 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Multiplizieren zweistelligen Ziffern
  • Die Zwei Finger Methode

Zweistellige Zahlen mit einstelligen

Wir wollen einfach beginnen und zwar wollen wir erst einmal zweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren. Das geht einfach? Ja natürlich, aber ich wette auch wenn die „Schulmethode“ schon in Ordnung war, diese hier wird sie noch mehr verblüffen.
Das Prinzip lautet diesmal. Zerlege die Zahlen so, dass die Multiplikation immer einfacher wird. Dies ist vielleicht eine Regel, die Sie schon ganz unbewusst immer angewendet haben. Indem Sie die komplizierte Multiplikation in zwei leichte umgewandelt und dann das Ergebnis addiert haben.

Starten wir einfach mal mit einer leichten Aufgabe

32 x 4 = ?

Nun werden wir die Zahl 32 zerlegen. Und zwar in 30 und 2. Die Multiplikation lautet dann folgendermaßen:

(30 + 2) x 4 = ?

Warum wir dies gemacht haben ist ganz einfach. Jetzt können wir 30 x 4 + 2 x 4 rechnen. 2 x 4 ist sowieso sehr einfach zu berechnen. 30 x 4 auch. Eigentlich entspricht es 3 x 4 nur das wir am Ende noch eine 0 dranhängen. Also:

(30 + 2) x 4
30 x 4 =     120
2 x 4 =            8
120 + 8 =   128

Ein zweites Beispiel: 64 x 9

(60 + 4) x 9
60 x 9 = 540
4 x 9 = 36
540 + 36 = 576

Ich denke das sollte keine Probleme bereiten. Ich hoffe Sie haben den Vorteil dieser Methode gesehen und beim Rechnen gemerkt. Die Multiplikation wird im eigentlichen Sinne enorm einfach indem wir einfach 6 x 9 und 4 x 9 rechnen können. Die Addition haben wir zuvor schon geübt und sollte Ihnen nicht mehr schwer fallen. Ich hoffe vor allem Sie davon überzeugt zu haben, dass diese Variante um einiges schneller geht als das mühsame Rechnen der Schule, wo man erst damit begonnen hat 4 x 9 = 36. Also 6 an, 3 gemerkt. 6 x 9 = 54. 4 + 3 = 7. 7 an und dann die 5 davor. 576

Das nächste Problem der alten Methode ist wieder einmal das von hinten kommen. Mit der neuen Art die Multiplikation zu lösen kommen wir von vorne also wieder von links nach rechts. Somit können wir wieder beginnen das Ergebnis zu nennen bevor wir überhaupt mit dem Rechnen fertig sind. (Was natürlich einiges an Übung erfordert diese Vorgänge zu synchronisieren. Aber die Arbeit ist es wert!)

Eine schöne Zahl bei der Multiplikation ist die 5. Multiplizieren wir die Zehnerstelle mit der 5 bzw. ist die Zehnerstelle eine 5, so kommt immer ein voller Zehner am Ende der Zahl heraus.

46 x 5 = (40 + 6) x 5 =
40 x 5 = 200
6 x 5 = 30
200 + 30 = 230

Als zweites Beispiel jetzt die Zehnerstelle mit der 5

57 x 7 = (50 + 7) x 7
50 x 7 = 350
7 x 7 = 49
350 + 49 = 399

Natürlich können wie schon bei der Addition und Subtraktion die Zahlen auch aufrunden. Nehmen wir dafür das folgende Beispiel:

69 x 8 = (60 + 9) x 8    Diese Variante wäre in diesem Fall etwas umständlich, einfacher ist
69 x 8 = (70 – 1) x 8
70 x 8 = 560
1 x 8 = 8
560 – 8 = 552

Und noch ein Beispiel:

89 x 7 = (90 -1) x 7
90 x 7 = 630
1 x 7 = 7
630 – 7 = 623

Auch nicht wirklich schwer, oder? Das Aufrunden sollte genutzt werden solange man maximal um 2 aufrunden muss. Ab 3 macht es schon weniger Sinn, weil dann die Subtraktionen schwieriger werden und meiner Meinung nach länger dauern als die Multiplikation und Addition des Gegenstücks.

Das war es auch schon wieder für die Multiplikation von zweistelligen mit einstelligen Zahlen. Diese Technik ist sehr wichtig und sollte eingehend geübt werden, da sie immer wieder verwendet werden muss, auch bei größeren Multiplikationen. Also üben, üben, üben. Lieber 10 Minuten am Tag, als einmal in der Woche 30 Minuten. Das regelmäßige Üben gewohnt Sie daran. Und genau das ist das Wichtige. Nicht das schneller rechnen ist die Schwierigkeit, sonder das Umgewöhnen. Sie müssen mit einer neuen Einstellung an diese Aufgaben herangehen. Man erwischt sich immer wieder dabei die Aufgaben auf die altbewährte Methode zu lösen. Kontrollieren Sie sich! Und wenn Sie sich dabei erwischen, sofort umdenken! Haben Sie das ganze zwei bis drei Wochen geübt hat sich die Denkweise automatisiert und Sie werden sehen wie leicht es Ihnen fällt

Multiplikation – aller Anfang ist schwer

In der Multiplikation können die Zahlen schnell sehr groß werden. Daher werden wir anfangs noch bei kleineren Produkten bleiben, die wir dann nach und nach steigern können. Da das Feld etwas ausführlicher sein wird als Addition und Subtraktion werde ich die Multiplikation in einige Teilbereich aufspalten, die wir dann nacheinander abhandeln können.

  1. Das kleine Einmaleins
  2. Multiplizieren einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  3. Multiplizieren einer dreistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  4. Quadrieren zweistelliger Zahlen
  5. Multiplizieren von zwei zweistelligen Zahlen
  6. Quadrieren von dreistelligen Zahlen
  7. Mnemotechniken (Zahlen besser merken)
  8. Multiplikation von dreistelligen Zahlen mit zweistelligen Zahlen
  9. Quadrieren von vierstelligen Zahlen
  10. Kubieren von Zahlen
  11. Multiplikation von zwei dreistelligen Zahlen

Das sollte erst einmal reichen und wird uns eine ganze Zeit beschäftigen.

Beim ersten Punkt werden sich einige an die Schulzeit zurückversetzt fühlen (falls sie nicht noch mitten drin stecken). Und ich muss ihnen auch leider gleich einen „kleinen“ Dämpfer geben. Das kleine Einmaleins muss sitzen. Und zwar wirklich sitzen. Ohne die Grundmultiplikationen werden wir bei den anderen Rechnungen nie auskommen. Beziehungsweise werden die anderen Rechnungen so aufgebaut sein, dass wir alles auf einfache Multiplikationen des Einmaleins zurückführen werden (so viel schon einmal vorweg). Daher müssen sie das kleine Einmaleins beherrschen. Bis zum nächsten Eintrag haben sie ja noch etwas Zeit um zu trainieren. (Einziger Ausweg wäre das System von Trachtenberg, welches ich auch zu einem späteren Zeitpunkt einmal erläutern werde. Mit diesem System kann man auch Multiplikationen der Grundrechenarten durch kleinere Tricks vereinfachen)

Hier ein paar kleine Hilfen, mit denen es vielleicht leichter geht.

  1. Im Alltag: Sich nicht vor kleinen Rechnungen scheuen und lieber mal den Taschenrechner liegen lassen
  2. Beim Autofahren: Nehmen sie sich die Nummern vom Vordermann vor und versuchen sie diese kreuz und quer zu multiplizieren. Geben Sie sich vielleicht sogar eine feste Zahl vor z.B. 78. Jetzt versuchen Sie die Zahlen so zu multiplizieren, addieren, subtrahieren, dass sie auf diese Zahl kommen. Für die Addition lohnt es sich vielleicht, gleich 2 oder 3 Ziffern auf einmal zu nehmen um mit höheren Zahlen rechnen zu können.
  3. Gehen Sie einfach wachsam durch die Welt und nehmen einmal war wie oft Sie mit Zahlen konfrontiert werden. Nutzen Sie „tote“ Zeiten und spielen Si emit den Zahlen. Das mag sich vielleicht seltsam anhören. Aber hinsichtlich des letzten Punktes schaffen Sie es somit leicht, die 10 Minuten gut in den Tag hinein zu bauen, ohne das es einen Zeitverlust darstellt. Probieren Sie es einfach aus. Mir hat es geholfen.
  4. Und wichtigster Punkt. Jeden Tag zehn Minuten üben, üben, üben! Zehn Minuten sind nicht viel. Diese kann man respektive Punkt 1 – 3 so in den Tag einbauen, dass sie einem garnicht abgehen. Und noch ein wichtiger Grundsatz wenn sie voller Enthusiasmus ans Werk gehen. Trainieren Sie lieber dreimal am Tag 10 Minuten, als einmal am Tag 30 Minuten.  Das ist effizienter, schont die Nerven und bringt Sie schneller an den gewünschten Erfolg.

Alles gut verdaut? Na dann kanns ja beim nächsten mal wieder mit der Rechenarbeit beginnen. Bis dahin üben sie fleißig. Es wird sich lohnen, beruflich wie auch die Bewunderung anderer einbringen.

Multiplizieren – Endziffern Summe 10

Ein nächster faszinierender Trick ist die Multiplikation mit Zahlen die mit der gleichen Ziffer beginnen und deren Endziffern die Summe 10 ergeben  z.B. 23 x 27  (ich weiß, dass sind viele Eingrenzungen und man hat wohl nicht immer die Möglichkeit diesen Trick einzusetzen, aber bei einigen Multiplikationsaufgaben ist er sehr hilfreich)

Der Trick ist wieder ähnlich simpel , wie beim Quadrieren mit der Endziffer 5. Als erstes nehmen wir die 2, erhöhen sie um 1 und multiplizieren sie wieder mit der 2. Also (2+1) x 3 = 6. Die 6 ist wieder unsere erste Ziffer. Jetzt brauchen wir noch das Ende. Das kriegen wir diesmal indem wir die beiden Endziffern miteinander multiplizieren. Also 3 x 7 = 21. Somit sollte unsere gesuchte Zahl 621 sein.

Ok noch ein paar weitere Aufgaben zum festigen:

33  x 37 =             (3 x 4)  (3 x 7)   = 12       21 = 1221

46 x 44 =              (4 x 5)   (6 x 4)   = 20       24 = 2024

72 x 78 =              (7 x 8 )  (2 x 8)   = 56       16 = 5616

Das war es auch schon wieder. Nun im nächsten Post, werden wir endlich mit der normalen Multiplikation beginnen. Also seien sie schon mal gespannt auf die Einführung.