Monthly Archives: Mai 2010

Mutliplikation – dreistellige mal einstellige Zahlen

Heute wollen wir noch das Berechnen von dreistelligen Zahlen mal einer einstelligen Zahl üben. Die Methode für das Kopfrechnen unterscheidet sich nicht wirklich hinsichtlich der Methode, die wir schon im Artikel zweistellige Zahlen mal einstellige Zahlen kennen gelernt haben. (Multiplikation zweistelliger mit einstelligen Zahlen)

Wir werden wieder die Zahlen in ihre Hunderter, Zehner und Einer zerlegen und dann jeweils die Teilmultiplikationen durchführen. Dadurch können wir dann alle Teile zusammen addieren und erhalten unser gesuchtes Ergebnis. Starten wir einmal einfach mit dem Kopfrechnen.

233 x 3 = (200 + 30 + 3) x 3 = 600 + (30 + 3) x 3 = 600 + 90 + 3 x 3 = 600 + 90 + 9 = 699

Das war nicht schwer. Schwieriger wird es nur mit der Zeit und ansteigender Größe der Zahlen, diese im Kopf zu behalten. Hierfür empfehlen sich Mnemotechniken um sich die Zahlen besser merken zu können. Hierzu wird auch noch ein eigener Artikel folgen, der Ihnen diese Methode beibringen wird. Hier sollte sie noch nicht erforderlich sein. Wollen wir gleich noch eine Kopfrechnung lösen

521 x 9 = (500 + 20 +  1 ) x 9 = 4500 + 180 + 9 = 4680 + 9 = 4689

Dies war auch nicht schwer. Bis jetzt hatten wir auch noch keinen Übertrag bei den Zahlen. Daher wollen wir doch einmal Aufgaben rechnen, die einen Übertrag enthalten.

684 x 6 = (600 + 80 + 4) = 3600 + 480 + 24 = 4080 + 24 = 4104

Was mir am Anfang Schwierigkeiten bereit hat ist diese Zahlenkolone bzw. das Anfangsproblem im Kopf zu behalten. Daher versuchen Sie die Aufgabe am Anfang noch mit Blick auf das Blatt zu lösen. Sie sollten sich aber immer öfter angewöhnen nicht mehr auf die Aufgabe sehen zu müssen. Das Kopfrechnen erfordert ja von uns die Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu lösen.

Das war es auch schon wieder mit dem Kopfrechnen für heute zum Abschluss noch zwei Aufgaben die Sie lösen können.

691 x 5 = ??
997 x 4 = ??

691 x 5 = (600 + 90 + 1) x 5 = 3000 + 450 + 5 = 3455 (Aufgaben mit 5 sind immer einfach, weil es keine Überträge geben kann und wir immer auf eine 0 oder 5 am Ende der Zahl kommen)

997 x 4 = (900 + 90 + 7 ) x 4 = 3600 + 360 + 28 = 3960 + 28 = 3988
Diese Aufgabe kann man auch anders berechnen, indem man (1000  – 3 ) x4 rechnet. (Diesen Kopfrechentrick haben wir auch schon im anderen Artikel verwendet.
Somit können wir einfach rechnen 4000 – 12 = 3988

Bis zum nächsten Artikel mit vielen weiteren Kopfrechentricks.

Sinus- Kopfrechentrick (Teil 2)

Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr hier findet.

Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen:

Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus:

1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 - \frac{a \times d}{40})

Was hier stört ist eindeutig der Teil: 1000 \times {\rm sin}(a)
Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können.
Wir erinnern uns: {\rm sin}(x) = 0,99989 \times x - 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5

Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können

1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 - \frac{d \times (d+1)}{120})

Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt)

Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten

1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 - \frac{29 \times (30)}{120})
Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - \frac{870)}{120})
Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - 7.25)
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15
Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735
1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735
{\rm sin}(29) = 0.484735

In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809

Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick.

Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf.

1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{35 \times (36)}{120})
Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (siehe Kopfrechentrick Endziffer 5)
1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{1260)}{120})
Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5
1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9
Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65
1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65
{\rm sin}(35) = 0.57365

Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357
Der relative Fehler beläuft sich hier auf:  0,139%

Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.

Trachtenbergsystem – Kopfrechentrick Multiplikation mit 6

Heute kommt noch einmal ein Kopfrechentrick von Trachtenberg dran. Und zwar das Multiplizieren mit der Ziffer 6.

Das Schema ist wieder identisch zu den anderen Beiträgen. Gegeben ist die Zahl 62202. Die wollen wir nur mit 6 multiplizieren. Dazu müssen wir wie bereits in den Artikeln Multiplizieren mit 11 und mit 12 die 0 an den vorderen Teil der Zahl anfügen, also 062202.
Das Trachtenbergsystem gibt wieder eine eindeutige Regel vor, die nun bei jedem Schritt gleich ist. Diese lautet:

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn“

Rechnen wir die Aufgabe einmal durch, dann sehen wir gleich was gemeint ist.

  1. Schritt: Wir nehmen die 2. Diese hat keinen Nachbarn: also wird sie einfach wieder angeschrieben

062202 x 6 = _ _ _ _ _ 2

  1. Schritt: Jetzt nehmen wir die 0 und addieren zu dieser Zahl die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Also die Hälfte von 2 ist 1. Die Rechnung lautet also 0 + 1 = 1 Also 1 an
    062202 x 6 = _ _ _ _ 1 2
  2. Schritt: Jetzt nehmen wir die 2. Der rechte Nachbar ist die 0. Die Hälfte von 0 ist 0. Also wird die 2 angeschrieben.
    062202 x 6 = _ _ _ 2 1 2
  3. Schritt: Jetzt kommt wieder die 2. Der rechte Nachbar ist diesmal auch eine 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Also lautet die Rechnung 2 + 1 = 3. Diesmal müssen wir 3 anschreiben
    062202 x 6 = _ _ 3 2 1 2
  4. Schritt: Fast geschafft. Jetzt ist die 6 an der Reihe. Der Nachbar von 6 ist die 2. Also addieren wir wieder die 1 zur 6. 6 + 1 = 7. Somit müssen wir die 7 anschreiben
    062202 x 6 = _ 7 3 2 1 2
  5. Schritt: Der letzte Schritt kommt wieder daher, dass wir die 0 an den Anfang der Zahl schreiben mussten. Dies also nicht vergessen. Sonst ist das Ergebnis nicht richtig. Jetzt nehmen wir die 0 und addieren die Hälfte des rechten Nachbarn hinzu, also die Hälfte von 6. Das ist 3. Somit lautet die Rechnung:  0 + 3 = 3. 3 wird angeschrieben
    062202 x 6 = 3 7 3 2 1 2

373212 ist das Ergebnis von 62202 x 6. Sehr schön, die Methode war doch relativ einfach. Der aufmerksame Leser wird sich am Anfang jedoch gleich gefragt haben, was passiert denn, wenn wir eine ungerade Zahl haben. Dann gibt es ja keine ganzzahlige Hälfte. Daher müssen wir unsere Regel noch einmal erweitern.

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wenn die Zahl ungerade ist addiere noch +5 dazu. Die Hälfte der ungeraden Zahl auf die kleinere Zahl abgerundet

Dann wollen wir noch einmal eine Rechnung ausführen um die Anwendung dieser Regelerweiterung zu veranschaulichen.

Nehmen wir 5321 x 6. Der erste Schritt besteht wieder darin die 0 an den Anfang zu schreiben.
05321 x 6

  1. Schritt: Die 1 wird genommen. Es gibt keinen rechten Nachbarn, also wird nichts dazu addiert. ABER: Die Zahl ist ungerade. Das heißt wir müssen + 5 dazu rechnen. Die Regel lautet ja addiere bei ungeraden Zahlen + 5 dazu. Also müssen wir hier 1 + 5 = 6 anschreiben
    05321 x 6 = _ _ _ _ 6
  2. Schritt: Jetzt kommt die 2 dran. Der Nachbar ist die 1. Die Hälfte von 1 ist ja 0,5. Die Regel lautet: abrunden! Dass heißt wir addieren die 0 zur 2. Da die Zahl gerade ist, müssen wir nichts weiter addieren. Also 2 + 0 = 2 an.
    05321 x 6 = _ _ _ 2 6
  3. Schritt: Die 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt wir müssen 5 dazu addieren. Der rechte Nachbar ist die 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Somit lautet die Rechnung 3 + 5 + 1 = 9. 9 an.
    05321 x 6 = _ _ 9 2 6
  4. Schritt: Jetzt kommt die 5. 5 ist ungerade also + 5. Der Nachbar ist die 3. Die Hälfte von 3 ist 1,5. Es wird abgerundet, also nehmen wir die 1. Die Rechnung lautet 5 +5 + 1= 11. Jetzt haben wir einen Übertrag. Also 1 an und 1 gemerkt
    05321 x 6 = _ 1 9 2 6
  5. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 dran. 0 ist gerade (ja ich weiß viel werden sagen die null ist weder gerade noch ungerade. Die Mathematische Definition von Gerade lautet aber: alle Zahlen die durch 2 teilbar sind. Und 0 ist eindeutig durch 2 teilbar.)
    Also 0 ist gerade. Wir müssen nichts dazu addieren, bis auf den rechten Nachbarn, dieser lautet 5. Die Hälfte von 5 ist 2,5. 2,5 abgerundet ergibt 2. Und jetzt den Übertrag nicht vergessen. Den wir noch von der letzten Rechnung hatten: Also 0 + 2 + 1 = 3
    05321 x 6 = 3 1 9 2 6

Das Ergebnis lautet somit 31926 und stimmt. Mit diesem Kopfrechentrick können wir schon mit 11, 12 und 6 gut Kopfrechnen. Das Trachtenbergsystem wird natürlich weiter geführt. Bis dahin wünsche ich viel Spaß beim anwenden!

Trachtenberg – Multiplikation mit 12

Die Multiplikation mit 12 ist ein weiteres Beispiel dafür, wie einfach Multiplikationen durch einen kleinen Kopfrechentrick durchgeführt werden können. Der Trick lehnt sich von der Ausführung her an die Multiplikation mit 11. Sollte es also Verständnisschwierigkeiten geben, sollte vielleicht dieser Artikel noch einmal kurz überflogen werden, damit es klarer wird.

So dann wollen wir starten. Als erstes eine einfache Multiplikation. 113 x 12

Die Regel im Trachtenbergsystem lautet folgendermaßen:

  1. Nimm die Zahl, beginnend von der letzten, mal zwei
  2. Und addiere den rechten Nachbarn zu diesem Zahlenwert
  3. Schreibe die Zahl an, bei einer Zahl größer 10 nimm den hinteren Teil und übertrage die 1 zur nächsten Rechnung

Die Regeln sehen beziehungsweise lesen sich wieder schwerer als das ganze Prinzip ist. Daher werden wir gleich wieder eine Rechnung gemeinsam durchführen und dann können wir uns selbst von der Einfachheit des Trachtenbergsystems überzeugen

Also nochmal: 113 x 12

  1. Schritt:                 Die erste Zahl die wir nehmen müssen, ist die 3. Diese sollen wir mal 2 nehmen. Also 6. Jetzt das ganze zum rechten Nachbarn addieren. Bei der letzten Zahl gibt es keinen. Das heißt 6 wird angeschrieben
    _ _ _ 6
  2. Schritt:  Jetzt die zweite Zahl. Die 1 in der Mitte, mal 2 genommen ergibt 2 plus den rechten Nachbarn, die 3, ergibt eine 5. Somit wird die 5 angeschrieben
    _ _ 5 6
  3. Schritt: Jetzt kommt die dritte Zahl, wieder eine 1. Diese mal zwei genommen ergibt wiederum eine 2 plus den rechten Nachbarn, eine 1, ergibt also 3. Jetzt wird eine 3 angeschrieben
    _ 3 5 6
  4. Schritt: Wichtig! Hier müssen wir wieder die Ausnahme (wie bei der Multiplikation mit 11) beachten. Man muss im Trachtenbergsystem an jede Zahl eine 0 an den Anfang anfügen, dass heißt im Klartext wir rechnen mit der Zahl 0113. Somit ergibt sich der 4. Schritt als folgende Rechnung: 0 mal 2 ergibt immer noch Null plus den rechten Nachbarn, die 1, ergibt somit 1.
    1 3 5 6

Für alle Ungläubigen ein Griff zum Taschenrechner. Ja es stimmt 1356 ist das richtige Ergebnis. Somit sollten in Zukunft beim Kopfrechnen Multiplikationen mit der Zahl 12 kein Problem mehr für uns darstellen.  Um diesen Kopfrechentrick zu festigen wollen wir noch ein paar Übungen durchführen.

Jetzt 432 x 12  –>  0432 x 12 (0 nicht vergessen)

  1. Schritt: Wir nehmen wieder die 2 und multiplizieren diese mit 2. Also 4. Es gibt keinen rechten Nachbarn. Also 4 an
    _ _ _ 4
  2. Schritt: Wir nehmen die 3. Diese verdoppelt gibt die 6. Plus den rechten Nachbarn ergibt 8
    _ _ 8 4
  3. Schritt: Wir nehmen nun die 4. Diese mal 2 ergibt eine 8. Plus den rechten Nachbarn ergibt eine 11. So jetzt haben wir den Fall mit Übertrag. Dies bedeutet wir schreiben die 1 an und der Übertrag ist 1. Den bitte beim 4. Schritt nicht vergessen!
    _ 1 8 4
  4. Schritt: Jetzt haben wir die 0. Mal 2 ergibt wieder 0 plus den rechten Nachbarn, 4, ergibt eine 4 und jetzt noch plus den Übertrag 1, ergibt somit eine 5
    5 1 8 4

Schon warm geworden? Na dann werden wir noch eine Aufgabe rechnen. Man bemerkt schnell den Nachteil dadurch, dass man die Zahl mal 2 nehmen muss. Es entstehen bei Zahlen die größer 4 sind zwangsläufig immer Überschläge. Daher will ich nur zu bedenken geben ob man beim Kopfrechnen bei einer geeigneten Zahl nicht auch zu der Methode wechselt, die ich bereits in einem anderen Post beschrieben hab. Dieser Kopfrechentrick beschäftigte sich damit, dass man die Multiplikation in zwei einfache Multiplikationen aufteilt und einfach eine Addition am Ende durchführt. Aber das sehen wir uns gleich nochmal bei der nächsten Zahl an.

Sehen wir uns einmal die Zahl 867 x 12 an. Rechnen wir sie einmal nach Trachtenberg

867 x 12  –>  0867 x 12

  1. Schritt: 7 mal 2 ergibt 14. 4 an 1 gemerkt
    _ _ _ 4
  2. Schritt: 6 mal 2 ergibt 12. 12 + 7= 19. Übertrag nicht vergessen. 19 + 1 = 20. 0 an 2 gemerkt
    _ _ 0 4
  3. Schritt: 8 mal 2 ergibt 16. 16 + 6 = 22. Übertrag nicht vergessen. 22 + 2 = 24. 4 an 2 gemerkt
    _ 4 0 4
  4. Schritt: 0 mal 2 ergibt 0. 0 + 8 = 8. Übertrag nicht vergessen. 8 + 2 = 10. Also hier 10 an, da keine weitere Rechnung folgt
    10 4 0 4

Hier waren schon viele Überträge dabei. Jetzt vergleichen wir die Methode mal mit der Zerlegung der Multiplikation:

867 x 12 = 867 x ( 10 + 2) = 8670 + 2 x 867 = 8670 + 2 x (870 – 3) = 8670 + 1740 – 6 =
9 670 + 740 – 6 = 10370 +40 – 6 = 10410 – 6 = 10404

Welche Methode einem besser gefällt muss jeder für sich entscheiden, beziehungsweise wird man das schnell beim Üben bemerken was einem besser liegt.

Möglich wäre natürlich auch noch dieser Weg der auch nicht zu verachten ist und meiner Meinung nach noch schneller funktioniert.

867 x 12 = (900 – 33) x 12 = 9000 + 1800 – 33 x 12 = 10800 – (330 + 66) = 10800 – 396 = 10800 – 400 + 4 = 10404

Wert sind sie es auf alle Fälle beide zum probieren. Genau das ist aber das Konzept des Kopfrechnens. Probieren, Probieren, Probieren. Nicht von einem Weg aus Bequemlichkeit überzeugen lassen, Probieren sie mehrere Wege beim Kopfrechne aus. Schauen sie ob sie Ergebnisse so hinbiegen können, dass sie simple Rechentricks verwenden können. Und sie werden merken, mit der Zeit wird man schneller und schneller. Schon alleine durch das viele austesten bekommt man die Übung. Und das allerwichtigste daran ist, dass sie ein Gefühl für die Zahlen bekommen. Sie werden sehen welcher Weg schneller ust. Kaum haben Sie die Rechnung gesehen, wird Ihnen ihre Intuition sagen, was sie machen sollen. Das ist unser Ziel!!

Sinus Funktionen im Kopf berechnen (Teil 1)

Jetzt kommt ein harter Brocken. Das Berechnen der Sinusfunktion sin(x) im Kopf. Beim Kopfrechnen für solche Funktionen gibt es natürlich mehrere große Probleme, die wir bewältigen müssen. (Sicherlich eine der schwersten Disziplinen im Kopfrechnen)

  1. Wie kann man den Sinus überhaupt berechnen? (Also wie macht es der Taschenrechner)
  2. Als periodische Funktion nimmt der Sinus immer wieder die gleichen Werte zwischen -1 und +1 an und hat somit keine Regelmäßigkeit wie z.B. lineare Funktionen
  3. Intuitives Rechnen wie in den Grundrechenarten + und – ist nicht möglich. Rechnungen wie sin(a + b) oder sin(a – b) sind eben nicht intuitiv

Diese Methode hat leider eine Eingrenzung: Sie geht nur für Winkel zwischen 0° und 54°. Danach wird der Fehler der Annäherung so groß, dass sie nicht mehr effizient genug ist und die Fehler selbst für das Kopfrechnen zu groß werden. Und wir berechnen den Sinus in Winkelform. Das heißt die Formel funktioniert nicht für Radiant Winkel.
Eine einfache Umrechnungsformel um von sin(x) Rad auf den Winkel zu kommen ist \frac{180}{\pi }\ \times x wobei \frac{180}{\pi}\   auch genähert werden kann durch den Bruch \frac{401}{7}

Ich gebe gleich die Formel an, mit der wir solche Aufgaben berechnen können. Wie wir zu dieser Formel kommen wird unten noch einmal genauer erläutert. Das Verständnis für die Herleitung ist aber in keinster Weise wichtig für die Berechnung. Wer sich dafür also nicht interessiert, kann es getrost überlesen.
Alle Näherungsformeln stammten aus dem Buch: Dead Reckoning von Ronald W. Doerfler. (Siehe Buch-Sektion)

1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 - \frac{a \times d}{40})

Noch zum klären welcher Buchstabe was bedeutet. d ist ein Winkel für den gilt d = a + b
Somit können wir z.B. einen Winkel von 32° in den Winkel a = 30° und b = 2° zerlegen.
Was das bringt soll, werden wir gleich sehen.

Die Formel sieht für einen Kopfrechentrick auf den ersten Blick recht kompliziert aus. Ist sie aber bei weitem nicht. Das Geheimnis liegt darin, sich markante Stellen der Sinus Funktion zu merken und mit diesen dann zu rechnen.

Sin 0° = 0
sin 10° = 0,1736
sin 20° = 0,3420
sin 30° = 0,5
sin 40° = 0,6428
sin 50° = 0,7660

Und jetzt sehen Sie auch den Grund warum wir den Winkel d in zwei kleinere Zahlen aufgeteilt haben. Da wir sin(a) berechnen müssen, nehmen wir a einfach als eine Zahl an, die wir aus der oberen Tabelle „ablesen“ (später im Kopf auswendig wissen) können. Nochmal zum Beispiel von vorhin. Der Winkel d = 32°
Jetzt teilen wir den Winkel in a = 30° und b = 2° auf. In die Formel eingesetzt sieht das folgendermaßen aus

1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times {\rm sin}(30) + \frac{ 2}{10} \times (174 - \frac{30 \times 32}{40})

Nun wissen wir:
sin(30°) = 0,5

Also lautet die Rechnung

1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times {\rm sin}(30) + \frac{  2}{10} \times (174 - \frac{30 \times 32}{40})
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10} \times (174 - \frac{960}{40})
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10}  \times (174 - 24)
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10}  \times (150)
1000 \times {\rm sin}(32) = 500 + 30
1000 \times {\rm sin}(32) = 530
{\rm sin}(32) = 0,530

Am Ende hat man auch sehr schön gesehen, warum man mal 1000 rechnet. Dies wird eigentlich nur gemacht, um mit ganzen Zahlen rechnen zu können und somit nicht die unhandlichen Kommazahlen mitziehen muss. Am Ende wieder durch 1000 geteilt. Dadurch verschiebt sich einfach das Komme wieder um drei Stellen zurück.
Die Formel hat somit mehr eine innere Schönheit, die erst beim Rechnen ihre volle Pracht preisgibt.
Im Taschenrechner eingegeben: Das Ergebnis lautet: 0,5299. Also fürs Kopfrechnen von Sinusfunktionen eine brauchbare Näherung. Der Nachteil ist eben bei dieser Methode, dass wir uns 4 markante Werte der Sinusfunktion merken müssen, die längere Nachkommastellen besitzen. Was jedoch ein geringer Preis ist um ein paar Leute zum Staunen zu bringen.

Dann wollen wir noch ein Beispiel berechnen: sin(24°)

Wir wählen wieder mit d = 24° , a = 20° und b = 4°. Somit lautet die Formel:

1000 \times {\rm sin}(24) = 1000 \times {\rm sin}(20) + \frac{ 4}{10} \times (174 - \frac{20 \times 24}{40})
1000 \times {\rm sin}(24) = 1000 \times 0,3420 + \frac{  4}{10} \times (174 - \frac{480}{40})
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + \frac{  4}{10}  \times (174 - 12)
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + \frac{  4}{10}  \times (162)
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + 64,8
{\rm sin}(24) = 0,4068

Jetzt können wir wieder durchrechnen, diesmal werd ich ein paar Schritte überspringen. Das Prinzip sollte klar geworden sein.

Wie gesagt, hat man sich einmal die vier unschönen Werte gemerkt, besteht das Rechnen nur noch aus einfachen Multiplikations- und Additionsaufgaben. Also als Kopfrechentrick doch ganz nützlich.

Als letztes noch einmal zu dem Punkt wenn wir einen Winkel nicht als Gradzahl gegeben haben, sondern mit Rad rechnen müssen. Der einfachste Fall ist, wenn der Winkel als ein Vielfaches von  geben ist (Vorsicht! Die Formel geht nur bis 54° also bis 0,3\pi )

Haben wir z.B. den Winkel 0,3 können wir einfach rechnen:

\frac{180}{\pi} \times 0,3 \times \pi = 180 \times 0,3 = 54

Jetzt können wir wieder d = 54° wählen.
Unangenehmer wird es wenn wir zwar Rad gegeben haben, aber diesmal nicht als Vielfaches von \pi   (Hier ist der Grenzwert der Formel bei etwa 0,9424 )

Dafür müssen wir dann die Näherung nehmen, die ich oben bereits erwähnt habe und den Winkel erst einmal im Kopf berechnen. Sin (0,25)

\frac{401}{7} \times 0,25 = \frac{401}{7} \times \frac{1}{4} = \frac{401}{28} = 14,3

Natürlich könnte man auch noch weiter runden. Irgendwann würde man jedoch Gefahr laufen, dass die Rundungsfehler überwiegen z.B. bietet sich hier an

\frac{401}{7} \times 0,25 = \frac{400}{7} \times \frac{1}{4} =  \frac{100}{7} = 14,3

Das war der erste Teil der Berechnung von Sinus Funktionen im Kopf. Das nächste mal werd ich noch weitere Näherungsformel präsentieren, die es einem sogar ermöglichen ohne Werte auswendig zu wissen zu müssen eine sinus Funktion berechnen zu lassen.

Eine Möglichkeit ohne Taschenrechner,

stammt von Taylor und stellt eine Reihenentwicklung dar. Was gemeint ist, werden wir gleich sehen. Wie man auf diese Reihe kommt geht schon Richtung Hochschulmathematik und soll erst einmal außer Acht gelassen werden. (Die Herleitung werd ich dann noch zusätzlich in einem Spoiler oder ähnlichem einfügen, damit niemand abgeschreckt wird)

Die Formel sieht nun folgendermaßen aus:

{\rm sin}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - . . .

Die Formel sieht erstmal kompliziert aus. Einige werden vielleicht die Bedeutung des ! hinter der Zahl nicht kennen. Dies ist schnell erklärt, z.B. 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Also von der gegebenen Zahl ausgehend, wird eine Multiplikationskette gebildet bis zur 1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Als Näherung der Brüche können wir dann schreiben

{\rm sin}(x) = 0,99989 \times x - 0,16595 \times x^3 + 0,00760  \times x^5

Dies ist zwar nett, wenn man gerade keine sin-Taste auf dem Taschenrechner zur Verfügung hat, aber im Kopf wird das eher nichts. Als Näherung könnte man die Stellen runden. Dabei schleicht sich aber dann schon ein etwas größerer Fehler bei der Berechnung ein. Auch bei  wird es wahrscheinlich schon zu Schwierigkeiten kommen. Vor allem bei nicht-ganzzahligen Werten.

{\rm sin}(x) = x - 0,17 \times x^3 + 0,01   \times x^5

Setzt man in diese Formel jetzt die Umrechnung von von Rad auf Grad ein und nimmt die Gleichung mal 1000. Hat man schon eine sehr ähnliche Form die, die wir oben verwendet haben. Die unschönen Werte werden dann noch approximiert und schon kommt man auf die oben genannte Formel. (Genauere Herleitung folgt noch)