Category Archives: Andere Funktionen (z.B. Sinus)

Kopfrechentrick – Quadratwurzel im Kopf ziehen

Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen.

Die Näherungsformel lautet:

a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N - a_{n}^2}{2a_{n}^2}

Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten.
Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen.
Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für \sqrt{51}

N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

a_{n}     (hier also = 7)

a_{n} ist ein Näherungswert für das Ergebnis

a_{n+1}

a_{n+1} ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für a_{n+1} heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert a_{n+1} und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit a_{n+1} . (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus)
a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N - a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus:

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 - 7^2}{2\times7^2}

Dann können wir rechnen:

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 - 49}{2\times49}

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}

a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203

a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind.
Das Ergebnis von \sqrt{51} = 7,1414284

Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig.

Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes a_{n} zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel:
Eine genauere Schätzung für a_{n} erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen.

a_{n} = k/l   (hier a_{n} = 50/7  also k = 50 und l = 7

Die Formel lautet:

a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N - k^2}{2k^2}

Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 - 50^2}{2\times50^2}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 - 2500}{2\times2500}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}

a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}

a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt.

Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden.

4999 / 7 = 7
4999 – 4900 = 99
–> 990 / 700 = 1 Rest 290
–>2900 / 700 = 4 Rest 100
–>1000/700 = 1 Rest 300
–>3000 /700= 4 Rest 200
……

Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)

Sinus- Kopfrechentrick (Teil 2)

Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr hier findet.

Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen:

Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus:

1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 - \frac{a \times d}{40})

Was hier stört ist eindeutig der Teil: 1000 \times {\rm sin}(a)
Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können.
Wir erinnern uns: {\rm sin}(x) = 0,99989 \times x - 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5

Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können

1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 - \frac{d \times (d+1)}{120})

Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt)

Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten

1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 - \frac{29 \times (30)}{120})
Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - \frac{870)}{120})
Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - 7.25)
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15
Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735
1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735
{\rm sin}(29) = 0.484735

In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809

Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick.

Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf.

1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{35 \times (36)}{120})
Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (siehe Kopfrechentrick Endziffer 5)
1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{1260)}{120})
Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5
1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9
Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65
1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65
{\rm sin}(35) = 0.57365

Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357
Der relative Fehler beläuft sich hier auf:  0,139%

Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.

Sinus Funktionen im Kopf berechnen (Teil 1)

Jetzt kommt ein harter Brocken. Das Berechnen der Sinusfunktion sin(x) im Kopf. Beim Kopfrechnen für solche Funktionen gibt es natürlich mehrere große Probleme, die wir bewältigen müssen. (Sicherlich eine der schwersten Disziplinen im Kopfrechnen)

  1. Wie kann man den Sinus überhaupt berechnen? (Also wie macht es der Taschenrechner)
  2. Als periodische Funktion nimmt der Sinus immer wieder die gleichen Werte zwischen -1 und +1 an und hat somit keine Regelmäßigkeit wie z.B. lineare Funktionen
  3. Intuitives Rechnen wie in den Grundrechenarten + und – ist nicht möglich. Rechnungen wie sin(a + b) oder sin(a – b) sind eben nicht intuitiv

Diese Methode hat leider eine Eingrenzung: Sie geht nur für Winkel zwischen 0° und 54°. Danach wird der Fehler der Annäherung so groß, dass sie nicht mehr effizient genug ist und die Fehler selbst für das Kopfrechnen zu groß werden. Und wir berechnen den Sinus in Winkelform. Das heißt die Formel funktioniert nicht für Radiant Winkel.
Eine einfache Umrechnungsformel um von sin(x) Rad auf den Winkel zu kommen ist \frac{180}{\pi }\ \times x wobei \frac{180}{\pi}\   auch genähert werden kann durch den Bruch \frac{401}{7}

Ich gebe gleich die Formel an, mit der wir solche Aufgaben berechnen können. Wie wir zu dieser Formel kommen wird unten noch einmal genauer erläutert. Das Verständnis für die Herleitung ist aber in keinster Weise wichtig für die Berechnung. Wer sich dafür also nicht interessiert, kann es getrost überlesen.
Alle Näherungsformeln stammten aus dem Buch: Dead Reckoning von Ronald W. Doerfler. (Siehe Buch-Sektion)

1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 - \frac{a \times d}{40})

Noch zum klären welcher Buchstabe was bedeutet. d ist ein Winkel für den gilt d = a + b
Somit können wir z.B. einen Winkel von 32° in den Winkel a = 30° und b = 2° zerlegen.
Was das bringt soll, werden wir gleich sehen.

Die Formel sieht für einen Kopfrechentrick auf den ersten Blick recht kompliziert aus. Ist sie aber bei weitem nicht. Das Geheimnis liegt darin, sich markante Stellen der Sinus Funktion zu merken und mit diesen dann zu rechnen.

Sin 0° = 0
sin 10° = 0,1736
sin 20° = 0,3420
sin 30° = 0,5
sin 40° = 0,6428
sin 50° = 0,7660

Und jetzt sehen Sie auch den Grund warum wir den Winkel d in zwei kleinere Zahlen aufgeteilt haben. Da wir sin(a) berechnen müssen, nehmen wir a einfach als eine Zahl an, die wir aus der oberen Tabelle „ablesen“ (später im Kopf auswendig wissen) können. Nochmal zum Beispiel von vorhin. Der Winkel d = 32°
Jetzt teilen wir den Winkel in a = 30° und b = 2° auf. In die Formel eingesetzt sieht das folgendermaßen aus

1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times {\rm sin}(30) + \frac{ 2}{10} \times (174 - \frac{30 \times 32}{40})

Nun wissen wir:
sin(30°) = 0,5

Also lautet die Rechnung

1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times {\rm sin}(30) + \frac{  2}{10} \times (174 - \frac{30 \times 32}{40})
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10} \times (174 - \frac{960}{40})
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10}  \times (174 - 24)
1000 \times {\rm sin}(32) = 1000 \times 0,5 + \frac{  2}{10}  \times (150)
1000 \times {\rm sin}(32) = 500 + 30
1000 \times {\rm sin}(32) = 530
{\rm sin}(32) = 0,530

Am Ende hat man auch sehr schön gesehen, warum man mal 1000 rechnet. Dies wird eigentlich nur gemacht, um mit ganzen Zahlen rechnen zu können und somit nicht die unhandlichen Kommazahlen mitziehen muss. Am Ende wieder durch 1000 geteilt. Dadurch verschiebt sich einfach das Komme wieder um drei Stellen zurück.
Die Formel hat somit mehr eine innere Schönheit, die erst beim Rechnen ihre volle Pracht preisgibt.
Im Taschenrechner eingegeben: Das Ergebnis lautet: 0,5299. Also fürs Kopfrechnen von Sinusfunktionen eine brauchbare Näherung. Der Nachteil ist eben bei dieser Methode, dass wir uns 4 markante Werte der Sinusfunktion merken müssen, die längere Nachkommastellen besitzen. Was jedoch ein geringer Preis ist um ein paar Leute zum Staunen zu bringen.

Dann wollen wir noch ein Beispiel berechnen: sin(24°)

Wir wählen wieder mit d = 24° , a = 20° und b = 4°. Somit lautet die Formel:

1000 \times {\rm sin}(24) = 1000 \times {\rm sin}(20) + \frac{ 4}{10} \times (174 - \frac{20 \times 24}{40})
1000 \times {\rm sin}(24) = 1000 \times 0,3420 + \frac{  4}{10} \times (174 - \frac{480}{40})
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + \frac{  4}{10}  \times (174 - 12)
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + \frac{  4}{10}  \times (162)
1000 \times {\rm sin}(24) = 342 + 64,8
{\rm sin}(24) = 0,4068

Jetzt können wir wieder durchrechnen, diesmal werd ich ein paar Schritte überspringen. Das Prinzip sollte klar geworden sein.

Wie gesagt, hat man sich einmal die vier unschönen Werte gemerkt, besteht das Rechnen nur noch aus einfachen Multiplikations- und Additionsaufgaben. Also als Kopfrechentrick doch ganz nützlich.

Als letztes noch einmal zu dem Punkt wenn wir einen Winkel nicht als Gradzahl gegeben haben, sondern mit Rad rechnen müssen. Der einfachste Fall ist, wenn der Winkel als ein Vielfaches von  geben ist (Vorsicht! Die Formel geht nur bis 54° also bis 0,3\pi )

Haben wir z.B. den Winkel 0,3 können wir einfach rechnen:

\frac{180}{\pi} \times 0,3 \times \pi = 180 \times 0,3 = 54

Jetzt können wir wieder d = 54° wählen.
Unangenehmer wird es wenn wir zwar Rad gegeben haben, aber diesmal nicht als Vielfaches von \pi   (Hier ist der Grenzwert der Formel bei etwa 0,9424 )

Dafür müssen wir dann die Näherung nehmen, die ich oben bereits erwähnt habe und den Winkel erst einmal im Kopf berechnen. Sin (0,25)

\frac{401}{7} \times 0,25 = \frac{401}{7} \times \frac{1}{4} = \frac{401}{28} = 14,3

Natürlich könnte man auch noch weiter runden. Irgendwann würde man jedoch Gefahr laufen, dass die Rundungsfehler überwiegen z.B. bietet sich hier an

\frac{401}{7} \times 0,25 = \frac{400}{7} \times \frac{1}{4} =  \frac{100}{7} = 14,3

Das war der erste Teil der Berechnung von Sinus Funktionen im Kopf. Das nächste mal werd ich noch weitere Näherungsformel präsentieren, die es einem sogar ermöglichen ohne Werte auswendig zu wissen zu müssen eine sinus Funktion berechnen zu lassen.

Eine Möglichkeit ohne Taschenrechner,

stammt von Taylor und stellt eine Reihenentwicklung dar. Was gemeint ist, werden wir gleich sehen. Wie man auf diese Reihe kommt geht schon Richtung Hochschulmathematik und soll erst einmal außer Acht gelassen werden. (Die Herleitung werd ich dann noch zusätzlich in einem Spoiler oder ähnlichem einfügen, damit niemand abgeschreckt wird)

Die Formel sieht nun folgendermaßen aus:

{\rm sin}(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - . . .

Die Formel sieht erstmal kompliziert aus. Einige werden vielleicht die Bedeutung des ! hinter der Zahl nicht kennen. Dies ist schnell erklärt, z.B. 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Also von der gegebenen Zahl ausgehend, wird eine Multiplikationskette gebildet bis zur 1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Als Näherung der Brüche können wir dann schreiben

{\rm sin}(x) = 0,99989 \times x - 0,16595 \times x^3 + 0,00760  \times x^5

Dies ist zwar nett, wenn man gerade keine sin-Taste auf dem Taschenrechner zur Verfügung hat, aber im Kopf wird das eher nichts. Als Näherung könnte man die Stellen runden. Dabei schleicht sich aber dann schon ein etwas größerer Fehler bei der Berechnung ein. Auch bei  wird es wahrscheinlich schon zu Schwierigkeiten kommen. Vor allem bei nicht-ganzzahligen Werten.

{\rm sin}(x) = x - 0,17 \times x^3 + 0,01   \times x^5

Setzt man in diese Formel jetzt die Umrechnung von von Rad auf Grad ein und nimmt die Gleichung mal 1000. Hat man schon eine sehr ähnliche Form die, die wir oben verwendet haben. Die unschönen Werte werden dann noch approximiert und schon kommt man auf die oben genannte Formel. (Genauere Herleitung folgt noch)