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Mutliplikation – dreistellige mal einstellige Zahlen

Heute wollen wir noch das Berechnen von dreistelligen Zahlen mal einer einstelligen Zahl üben. Die Methode für das Kopfrechnen unterscheidet sich nicht wirklich hinsichtlich der Methode, die wir schon im Artikel zweistellige Zahlen mal einstellige Zahlen kennen gelernt haben. (Multiplikation zweistelliger mit einstelligen Zahlen)

Wir werden wieder die Zahlen in ihre Hunderter, Zehner und Einer zerlegen und dann jeweils die Teilmultiplikationen durchführen. Dadurch können wir dann alle Teile zusammen addieren und erhalten unser gesuchtes Ergebnis. Starten wir einmal einfach mit dem Kopfrechnen.

233 x 3 = (200 + 30 + 3) x 3 = 600 + (30 + 3) x 3 = 600 + 90 + 3 x 3 = 600 + 90 + 9 = 699

Das war nicht schwer. Schwieriger wird es nur mit der Zeit und ansteigender Größe der Zahlen, diese im Kopf zu behalten. Hierfür empfehlen sich Mnemotechniken um sich die Zahlen besser merken zu können. Hierzu wird auch noch ein eigener Artikel folgen, der Ihnen diese Methode beibringen wird. Hier sollte sie noch nicht erforderlich sein. Wollen wir gleich noch eine Kopfrechnung lösen

521 x 9 = (500 + 20 +  1 ) x 9 = 4500 + 180 + 9 = 4680 + 9 = 4689

Dies war auch nicht schwer. Bis jetzt hatten wir auch noch keinen Übertrag bei den Zahlen. Daher wollen wir doch einmal Aufgaben rechnen, die einen Übertrag enthalten.

684 x 6 = (600 + 80 + 4) = 3600 + 480 + 24 = 4080 + 24 = 4104

Was mir am Anfang Schwierigkeiten bereit hat ist diese Zahlenkolone bzw. das Anfangsproblem im Kopf zu behalten. Daher versuchen Sie die Aufgabe am Anfang noch mit Blick auf das Blatt zu lösen. Sie sollten sich aber immer öfter angewöhnen nicht mehr auf die Aufgabe sehen zu müssen. Das Kopfrechnen erfordert ja von uns die Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu lösen.

Das war es auch schon wieder mit dem Kopfrechnen für heute zum Abschluss noch zwei Aufgaben die Sie lösen können.

691 x 5 = ??
997 x 4 = ??

691 x 5 = (600 + 90 + 1) x 5 = 3000 + 450 + 5 = 3455 (Aufgaben mit 5 sind immer einfach, weil es keine Überträge geben kann und wir immer auf eine 0 oder 5 am Ende der Zahl kommen)

997 x 4 = (900 + 90 + 7 ) x 4 = 3600 + 360 + 28 = 3960 + 28 = 3988
Diese Aufgabe kann man auch anders berechnen, indem man (1000  – 3 ) x4 rechnet. (Diesen Kopfrechentrick haben wir auch schon im anderen Artikel verwendet.
Somit können wir einfach rechnen 4000 – 12 = 3988

Bis zum nächsten Artikel mit vielen weiteren Kopfrechentricks.

Zweistellige Zahlen mit einstelligen

Wir wollen einfach beginnen und zwar wollen wir erst einmal zweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren. Das geht einfach? Ja natürlich, aber ich wette auch wenn die „Schulmethode“ schon in Ordnung war, diese hier wird sie noch mehr verblüffen.
Das Prinzip lautet diesmal. Zerlege die Zahlen so, dass die Multiplikation immer einfacher wird. Dies ist vielleicht eine Regel, die Sie schon ganz unbewusst immer angewendet haben. Indem Sie die komplizierte Multiplikation in zwei leichte umgewandelt und dann das Ergebnis addiert haben.

Starten wir einfach mal mit einer leichten Aufgabe

32 x 4 = ?

Nun werden wir die Zahl 32 zerlegen. Und zwar in 30 und 2. Die Multiplikation lautet dann folgendermaßen:

(30 + 2) x 4 = ?

Warum wir dies gemacht haben ist ganz einfach. Jetzt können wir 30 x 4 + 2 x 4 rechnen. 2 x 4 ist sowieso sehr einfach zu berechnen. 30 x 4 auch. Eigentlich entspricht es 3 x 4 nur das wir am Ende noch eine 0 dranhängen. Also:

(30 + 2) x 4
30 x 4 =     120
2 x 4 =            8
120 + 8 =   128

Ein zweites Beispiel: 64 x 9

(60 + 4) x 9
60 x 9 = 540
4 x 9 = 36
540 + 36 = 576

Ich denke das sollte keine Probleme bereiten. Ich hoffe Sie haben den Vorteil dieser Methode gesehen und beim Rechnen gemerkt. Die Multiplikation wird im eigentlichen Sinne enorm einfach indem wir einfach 6 x 9 und 4 x 9 rechnen können. Die Addition haben wir zuvor schon geübt und sollte Ihnen nicht mehr schwer fallen. Ich hoffe vor allem Sie davon überzeugt zu haben, dass diese Variante um einiges schneller geht als das mühsame Rechnen der Schule, wo man erst damit begonnen hat 4 x 9 = 36. Also 6 an, 3 gemerkt. 6 x 9 = 54. 4 + 3 = 7. 7 an und dann die 5 davor. 576

Das nächste Problem der alten Methode ist wieder einmal das von hinten kommen. Mit der neuen Art die Multiplikation zu lösen kommen wir von vorne also wieder von links nach rechts. Somit können wir wieder beginnen das Ergebnis zu nennen bevor wir überhaupt mit dem Rechnen fertig sind. (Was natürlich einiges an Übung erfordert diese Vorgänge zu synchronisieren. Aber die Arbeit ist es wert!)

Eine schöne Zahl bei der Multiplikation ist die 5. Multiplizieren wir die Zehnerstelle mit der 5 bzw. ist die Zehnerstelle eine 5, so kommt immer ein voller Zehner am Ende der Zahl heraus.

46 x 5 = (40 + 6) x 5 =
40 x 5 = 200
6 x 5 = 30
200 + 30 = 230

Als zweites Beispiel jetzt die Zehnerstelle mit der 5

57 x 7 = (50 + 7) x 7
50 x 7 = 350
7 x 7 = 49
350 + 49 = 399

Natürlich können wie schon bei der Addition und Subtraktion die Zahlen auch aufrunden. Nehmen wir dafür das folgende Beispiel:

69 x 8 = (60 + 9) x 8    Diese Variante wäre in diesem Fall etwas umständlich, einfacher ist
69 x 8 = (70 – 1) x 8
70 x 8 = 560
1 x 8 = 8
560 – 8 = 552

Und noch ein Beispiel:

89 x 7 = (90 -1) x 7
90 x 7 = 630
1 x 7 = 7
630 – 7 = 623

Auch nicht wirklich schwer, oder? Das Aufrunden sollte genutzt werden solange man maximal um 2 aufrunden muss. Ab 3 macht es schon weniger Sinn, weil dann die Subtraktionen schwieriger werden und meiner Meinung nach länger dauern als die Multiplikation und Addition des Gegenstücks.

Das war es auch schon wieder für die Multiplikation von zweistelligen mit einstelligen Zahlen. Diese Technik ist sehr wichtig und sollte eingehend geübt werden, da sie immer wieder verwendet werden muss, auch bei größeren Multiplikationen. Also üben, üben, üben. Lieber 10 Minuten am Tag, als einmal in der Woche 30 Minuten. Das regelmäßige Üben gewohnt Sie daran. Und genau das ist das Wichtige. Nicht das schneller rechnen ist die Schwierigkeit, sonder das Umgewöhnen. Sie müssen mit einer neuen Einstellung an diese Aufgaben herangehen. Man erwischt sich immer wieder dabei die Aufgaben auf die altbewährte Methode zu lösen. Kontrollieren Sie sich! Und wenn Sie sich dabei erwischen, sofort umdenken! Haben Sie das ganze zwei bis drei Wochen geübt hat sich die Denkweise automatisiert und Sie werden sehen wie leicht es Ihnen fällt

Multiplikation – aller Anfang ist schwer

In der Multiplikation können die Zahlen schnell sehr groß werden. Daher werden wir anfangs noch bei kleineren Produkten bleiben, die wir dann nach und nach steigern können. Da das Feld etwas ausführlicher sein wird als Addition und Subtraktion werde ich die Multiplikation in einige Teilbereich aufspalten, die wir dann nacheinander abhandeln können.

  1. Das kleine Einmaleins
  2. Multiplizieren einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  3. Multiplizieren einer dreistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  4. Quadrieren zweistelliger Zahlen
  5. Multiplizieren von zwei zweistelligen Zahlen
  6. Quadrieren von dreistelligen Zahlen
  7. Mnemotechniken (Zahlen besser merken)
  8. Multiplikation von dreistelligen Zahlen mit zweistelligen Zahlen
  9. Quadrieren von vierstelligen Zahlen
  10. Kubieren von Zahlen
  11. Multiplikation von zwei dreistelligen Zahlen

Das sollte erst einmal reichen und wird uns eine ganze Zeit beschäftigen.

Beim ersten Punkt werden sich einige an die Schulzeit zurückversetzt fühlen (falls sie nicht noch mitten drin stecken). Und ich muss ihnen auch leider gleich einen „kleinen“ Dämpfer geben. Das kleine Einmaleins muss sitzen. Und zwar wirklich sitzen. Ohne die Grundmultiplikationen werden wir bei den anderen Rechnungen nie auskommen. Beziehungsweise werden die anderen Rechnungen so aufgebaut sein, dass wir alles auf einfache Multiplikationen des Einmaleins zurückführen werden (so viel schon einmal vorweg). Daher müssen sie das kleine Einmaleins beherrschen. Bis zum nächsten Eintrag haben sie ja noch etwas Zeit um zu trainieren. (Einziger Ausweg wäre das System von Trachtenberg, welches ich auch zu einem späteren Zeitpunkt einmal erläutern werde. Mit diesem System kann man auch Multiplikationen der Grundrechenarten durch kleinere Tricks vereinfachen)

Hier ein paar kleine Hilfen, mit denen es vielleicht leichter geht.

  1. Im Alltag: Sich nicht vor kleinen Rechnungen scheuen und lieber mal den Taschenrechner liegen lassen
  2. Beim Autofahren: Nehmen sie sich die Nummern vom Vordermann vor und versuchen sie diese kreuz und quer zu multiplizieren. Geben Sie sich vielleicht sogar eine feste Zahl vor z.B. 78. Jetzt versuchen Sie die Zahlen so zu multiplizieren, addieren, subtrahieren, dass sie auf diese Zahl kommen. Für die Addition lohnt es sich vielleicht, gleich 2 oder 3 Ziffern auf einmal zu nehmen um mit höheren Zahlen rechnen zu können.
  3. Gehen Sie einfach wachsam durch die Welt und nehmen einmal war wie oft Sie mit Zahlen konfrontiert werden. Nutzen Sie „tote“ Zeiten und spielen Si emit den Zahlen. Das mag sich vielleicht seltsam anhören. Aber hinsichtlich des letzten Punktes schaffen Sie es somit leicht, die 10 Minuten gut in den Tag hinein zu bauen, ohne das es einen Zeitverlust darstellt. Probieren Sie es einfach aus. Mir hat es geholfen.
  4. Und wichtigster Punkt. Jeden Tag zehn Minuten üben, üben, üben! Zehn Minuten sind nicht viel. Diese kann man respektive Punkt 1 – 3 so in den Tag einbauen, dass sie einem garnicht abgehen. Und noch ein wichtiger Grundsatz wenn sie voller Enthusiasmus ans Werk gehen. Trainieren Sie lieber dreimal am Tag 10 Minuten, als einmal am Tag 30 Minuten.  Das ist effizienter, schont die Nerven und bringt Sie schneller an den gewünschten Erfolg.

Alles gut verdaut? Na dann kanns ja beim nächsten mal wieder mit der Rechenarbeit beginnen. Bis dahin üben sie fleißig. Es wird sich lohnen, beruflich wie auch die Bewunderung anderer einbringen.

Multiplizieren – Endziffern Summe 10

Ein nächster faszinierender Trick ist die Multiplikation mit Zahlen die mit der gleichen Ziffer beginnen und deren Endziffern die Summe 10 ergeben  z.B. 23 x 27  (ich weiß, dass sind viele Eingrenzungen und man hat wohl nicht immer die Möglichkeit diesen Trick einzusetzen, aber bei einigen Multiplikationsaufgaben ist er sehr hilfreich)

Der Trick ist wieder ähnlich simpel , wie beim Quadrieren mit der Endziffer 5. Als erstes nehmen wir die 2, erhöhen sie um 1 und multiplizieren sie wieder mit der 2. Also (2+1) x 3 = 6. Die 6 ist wieder unsere erste Ziffer. Jetzt brauchen wir noch das Ende. Das kriegen wir diesmal indem wir die beiden Endziffern miteinander multiplizieren. Also 3 x 7 = 21. Somit sollte unsere gesuchte Zahl 621 sein.

Ok noch ein paar weitere Aufgaben zum festigen:

33  x 37 =             (3 x 4)  (3 x 7)   = 12       21 = 1221

46 x 44 =              (4 x 5)   (6 x 4)   = 20       24 = 2024

72 x 78 =              (7 x 8 )  (2 x 8)   = 56       16 = 5616

Das war es auch schon wieder. Nun im nächsten Post, werden wir endlich mit der normalen Multiplikation beginnen. Also seien sie schon mal gespannt auf die Einführung.

Multiplizieren mit 11 (für große Zahlen)

Multiplizieren mit 11

Was jetzt kommt ist eigentlich nur noch eine Erweiterung der vorher besprochenen Methode. Man kann sich natürlich noch Fragen, was passiert wenn die Zahl nicht zwei sondern drei oder mehrere Stellen hat. Nun das Prinzip ist wieder identisch. Was hier natürlich komplizierter wird, ist der Übertrag, der jetzt an mehreren Stellen auftreten kann. Am besten ich erkläre es wieder an einem Beispiel. Das sagt mehr als komplizierte Beschreibungen.

Die äußeren Zahlen werden wieder an den Rand geschrieben. Nur dass jetzt zwei Zahlen in der Mitte entstehen. Einmal durch die Addition von 2 + 3 = 5 und einmal durch die Addition von 3 + 1 = 4

Nun das ganze für eine vierstellige Zahl. Wie viele Zahlen werden eingefügt? Drei genau. Bei einer vierstelligen Zahl können wir jetzt drei Additionen durchführen. Nochmal am Beispiel gezeigt

Eigentlich wieder ganz einfach, oder? Was jetzt an den großen Zahlen etwas unschöner wird, ist der Übertrag. Das kann schon mal verwirrend sein und erschwert es noch dazu sich diese großen Zahlenkolonnen zu merken. (Dafür werde ich nochmal ein extra Thema einführen, dass sich speziell damit auseinandersetzen wird, wie man sich eine größere Menge an zahlen einfach merkt. Aber wie gesagt dies wird später an geeigneter Stelle noch kommen)
Die Methodik ist jedoch wieder gleich. Entsteht ein Übertrag, wird dieser an die nächste größere Zahl weitergegeben.

So ich denke das war schon schwieriger. Aber nicht entmutigen lassen, wenn es nicht von Anfang an klappen sollte. Wir arbeiten ja noch daran, dass solche Prozesse und Rechenschritte verinnerlicht werden und sie damit bald keine Probleme mehr haben. Aber sehen wir uns die Rechnung noch einmal an. Wir haben jetzt eine vierstellige Zahl mit einer zweistelligen multipliziert. Meiner Meinung nach eine enorme Leistung. Wem es trotzdem zu viel des guten war: Überspringen sie das Thema einfach mit gutem Gewissen und kommen sie später noch einmal hierher zurück. Es wird ihnen um einiges leichter fallen, glauben sie mir.
Aber die Lernkurve zeigt immer noch steil nach oben. In den nächsten Lektionen werden noch zwei Tricks kommen und dann packen wir die Multiplikation an. Viel Spaß bis dahin mit den bisherigen Übungen. Damit ihnen bis dahin nicht langweilig wird noch ein paar Übungen:

451 x 11 = 4        (4+5)     (5+1)     1             =             4             9             6             1             = 4961

879 x 11 = 8        (8+7)     (7+9)     9             =             (8+1)     (5+1)     6             9             = 9669

51347 x 11 = 5    6   4   7   (4+7)   7               =             5   6   4   8   1   7                                  = 564817

59382 x 11 = 5   (5+9)   (9+3)   (3+8)   (8+2)   2 = 6   5   3   2   0   2                                   = 653202
(Wohl eine der schlimmsten Zahlen, die Ihnen passieren kann)