Tag Archives: Kopfrechentrick

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025.

Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42.

42^2

Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt

So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.

2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).

3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760

4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier 2^2 , und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + 2^2 . 1760 + 4 = 1764

Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.

Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + 4^2 und erhalten somit 2900 + 16 = 2916

Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:

  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9

Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68.

Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.

Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464

Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Sinus- Kopfrechentrick (Teil 2)

Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr hier findet.

Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen:

Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus:

1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 - \frac{a \times d}{40})

Was hier stört ist eindeutig der Teil: 1000 \times {\rm sin}(a)
Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können.
Wir erinnern uns: {\rm sin}(x) = 0,99989 \times x - 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5

Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können

1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 - \frac{d \times (d+1)}{120})

Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt)

Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten

1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 - \frac{29 \times (30)}{120})
Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - \frac{870)}{120})
Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 - 7.25)
1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15
Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735
1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735
{\rm sin}(29) = 0.484735

In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809

Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick.

Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf.

1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{35 \times (36)}{120})
Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (siehe Kopfrechentrick Endziffer 5)
1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 - \frac{1260)}{120})
Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5
1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9
Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65
1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65
{\rm sin}(35) = 0.57365

Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357
Der relative Fehler beläuft sich hier auf:  0,139%

Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.

Trachtenbergsystem – Kopfrechentrick Multiplikation mit 6

Heute kommt noch einmal ein Kopfrechentrick von Trachtenberg dran. Und zwar das Multiplizieren mit der Ziffer 6.

Das Schema ist wieder identisch zu den anderen Beiträgen. Gegeben ist die Zahl 62202. Die wollen wir nur mit 6 multiplizieren. Dazu müssen wir wie bereits in den Artikeln Multiplizieren mit 11 und mit 12 die 0 an den vorderen Teil der Zahl anfügen, also 062202.
Das Trachtenbergsystem gibt wieder eine eindeutige Regel vor, die nun bei jedem Schritt gleich ist. Diese lautet:

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn“

Rechnen wir die Aufgabe einmal durch, dann sehen wir gleich was gemeint ist.

  1. Schritt: Wir nehmen die 2. Diese hat keinen Nachbarn: also wird sie einfach wieder angeschrieben

062202 x 6 = _ _ _ _ _ 2

  1. Schritt: Jetzt nehmen wir die 0 und addieren zu dieser Zahl die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Also die Hälfte von 2 ist 1. Die Rechnung lautet also 0 + 1 = 1 Also 1 an
    062202 x 6 = _ _ _ _ 1 2
  2. Schritt: Jetzt nehmen wir die 2. Der rechte Nachbar ist die 0. Die Hälfte von 0 ist 0. Also wird die 2 angeschrieben.
    062202 x 6 = _ _ _ 2 1 2
  3. Schritt: Jetzt kommt wieder die 2. Der rechte Nachbar ist diesmal auch eine 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Also lautet die Rechnung 2 + 1 = 3. Diesmal müssen wir 3 anschreiben
    062202 x 6 = _ _ 3 2 1 2
  4. Schritt: Fast geschafft. Jetzt ist die 6 an der Reihe. Der Nachbar von 6 ist die 2. Also addieren wir wieder die 1 zur 6. 6 + 1 = 7. Somit müssen wir die 7 anschreiben
    062202 x 6 = _ 7 3 2 1 2
  5. Schritt: Der letzte Schritt kommt wieder daher, dass wir die 0 an den Anfang der Zahl schreiben mussten. Dies also nicht vergessen. Sonst ist das Ergebnis nicht richtig. Jetzt nehmen wir die 0 und addieren die Hälfte des rechten Nachbarn hinzu, also die Hälfte von 6. Das ist 3. Somit lautet die Rechnung:  0 + 3 = 3. 3 wird angeschrieben
    062202 x 6 = 3 7 3 2 1 2

373212 ist das Ergebnis von 62202 x 6. Sehr schön, die Methode war doch relativ einfach. Der aufmerksame Leser wird sich am Anfang jedoch gleich gefragt haben, was passiert denn, wenn wir eine ungerade Zahl haben. Dann gibt es ja keine ganzzahlige Hälfte. Daher müssen wir unsere Regel noch einmal erweitern.

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wenn die Zahl ungerade ist addiere noch +5 dazu. Die Hälfte der ungeraden Zahl auf die kleinere Zahl abgerundet

Dann wollen wir noch einmal eine Rechnung ausführen um die Anwendung dieser Regelerweiterung zu veranschaulichen.

Nehmen wir 5321 x 6. Der erste Schritt besteht wieder darin die 0 an den Anfang zu schreiben.
05321 x 6

  1. Schritt: Die 1 wird genommen. Es gibt keinen rechten Nachbarn, also wird nichts dazu addiert. ABER: Die Zahl ist ungerade. Das heißt wir müssen + 5 dazu rechnen. Die Regel lautet ja addiere bei ungeraden Zahlen + 5 dazu. Also müssen wir hier 1 + 5 = 6 anschreiben
    05321 x 6 = _ _ _ _ 6
  2. Schritt: Jetzt kommt die 2 dran. Der Nachbar ist die 1. Die Hälfte von 1 ist ja 0,5. Die Regel lautet: abrunden! Dass heißt wir addieren die 0 zur 2. Da die Zahl gerade ist, müssen wir nichts weiter addieren. Also 2 + 0 = 2 an.
    05321 x 6 = _ _ _ 2 6
  3. Schritt: Die 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt wir müssen 5 dazu addieren. Der rechte Nachbar ist die 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Somit lautet die Rechnung 3 + 5 + 1 = 9. 9 an.
    05321 x 6 = _ _ 9 2 6
  4. Schritt: Jetzt kommt die 5. 5 ist ungerade also + 5. Der Nachbar ist die 3. Die Hälfte von 3 ist 1,5. Es wird abgerundet, also nehmen wir die 1. Die Rechnung lautet 5 +5 + 1= 11. Jetzt haben wir einen Übertrag. Also 1 an und 1 gemerkt
    05321 x 6 = _ 1 9 2 6
  5. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 dran. 0 ist gerade (ja ich weiß viel werden sagen die null ist weder gerade noch ungerade. Die Mathematische Definition von Gerade lautet aber: alle Zahlen die durch 2 teilbar sind. Und 0 ist eindeutig durch 2 teilbar.)
    Also 0 ist gerade. Wir müssen nichts dazu addieren, bis auf den rechten Nachbarn, dieser lautet 5. Die Hälfte von 5 ist 2,5. 2,5 abgerundet ergibt 2. Und jetzt den Übertrag nicht vergessen. Den wir noch von der letzten Rechnung hatten: Also 0 + 2 + 1 = 3
    05321 x 6 = 3 1 9 2 6

Das Ergebnis lautet somit 31926 und stimmt. Mit diesem Kopfrechentrick können wir schon mit 11, 12 und 6 gut Kopfrechnen. Das Trachtenbergsystem wird natürlich weiter geführt. Bis dahin wünsche ich viel Spaß beim anwenden!