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Kopfrechentrick – Quadratwurzel im Kopf ziehen

Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen.

Die Näherungsformel lautet:

a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N - a_{n}^2}{2a_{n}^2}

Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten.
Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen.
Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für \sqrt{51}

N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

a_{n}     (hier also = 7)

a_{n} ist ein Näherungswert für das Ergebnis

a_{n+1}

a_{n+1} ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für a_{n+1} heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert a_{n+1} und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit a_{n+1} . (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus)
a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N - a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus:

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 - 7^2}{2\times7^2}

Dann können wir rechnen:

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 - 49}{2\times49}

a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}

a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203

a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind.
Das Ergebnis von \sqrt{51} = 7,1414284

Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig.

Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes a_{n} zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel:
Eine genauere Schätzung für a_{n} erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen.

a_{n} = k/l   (hier a_{n} = 50/7  also k = 50 und l = 7

Die Formel lautet:

a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N - k^2}{2k^2}

Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 - 50^2}{2\times50^2}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 - 2500}{2\times2500}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}

a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}

a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}

a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt.

Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden.

4999 / 7 = 7
4999 – 4900 = 99
–> 990 / 700 = 1 Rest 290
–>2900 / 700 = 4 Rest 100
–>1000/700 = 1 Rest 300
–>3000 /700= 4 Rest 200
……

Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025.

Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42.

42^2

Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt

So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.

2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).

3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760

4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier 2^2 , und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + 2^2 . 1760 + 4 = 1764

Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.

Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + 4^2 und erhalten somit 2900 + 16 = 2916

Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:

  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9

Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68.

Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.

Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464

Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg.

Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe:

24 x 24

  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen)
    _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt
    _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576

Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen.

43 x 43

  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben
    _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2
    _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben
    1 8 4 9

Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen.

62 x 62

  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an.
    04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin
    24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin
    36   24   04

Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen
3(6  2) (4  0) 4
Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4

Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben

76 x 76

6 x 6 = 36
7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84
7 x 7 = 49

4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6

Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Mutliplikation – dreistellige mal einstellige Zahlen

Heute wollen wir noch das Berechnen von dreistelligen Zahlen mal einer einstelligen Zahl üben. Die Methode für das Kopfrechnen unterscheidet sich nicht wirklich hinsichtlich der Methode, die wir schon im Artikel zweistellige Zahlen mal einstellige Zahlen kennen gelernt haben. (Multiplikation zweistelliger mit einstelligen Zahlen)

Wir werden wieder die Zahlen in ihre Hunderter, Zehner und Einer zerlegen und dann jeweils die Teilmultiplikationen durchführen. Dadurch können wir dann alle Teile zusammen addieren und erhalten unser gesuchtes Ergebnis. Starten wir einmal einfach mit dem Kopfrechnen.

233 x 3 = (200 + 30 + 3) x 3 = 600 + (30 + 3) x 3 = 600 + 90 + 3 x 3 = 600 + 90 + 9 = 699

Das war nicht schwer. Schwieriger wird es nur mit der Zeit und ansteigender Größe der Zahlen, diese im Kopf zu behalten. Hierfür empfehlen sich Mnemotechniken um sich die Zahlen besser merken zu können. Hierzu wird auch noch ein eigener Artikel folgen, der Ihnen diese Methode beibringen wird. Hier sollte sie noch nicht erforderlich sein. Wollen wir gleich noch eine Kopfrechnung lösen

521 x 9 = (500 + 20 +  1 ) x 9 = 4500 + 180 + 9 = 4680 + 9 = 4689

Dies war auch nicht schwer. Bis jetzt hatten wir auch noch keinen Übertrag bei den Zahlen. Daher wollen wir doch einmal Aufgaben rechnen, die einen Übertrag enthalten.

684 x 6 = (600 + 80 + 4) = 3600 + 480 + 24 = 4080 + 24 = 4104

Was mir am Anfang Schwierigkeiten bereit hat ist diese Zahlenkolone bzw. das Anfangsproblem im Kopf zu behalten. Daher versuchen Sie die Aufgabe am Anfang noch mit Blick auf das Blatt zu lösen. Sie sollten sich aber immer öfter angewöhnen nicht mehr auf die Aufgabe sehen zu müssen. Das Kopfrechnen erfordert ja von uns die Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu lösen.

Das war es auch schon wieder mit dem Kopfrechnen für heute zum Abschluss noch zwei Aufgaben die Sie lösen können.

691 x 5 = ??
997 x 4 = ??

691 x 5 = (600 + 90 + 1) x 5 = 3000 + 450 + 5 = 3455 (Aufgaben mit 5 sind immer einfach, weil es keine Überträge geben kann und wir immer auf eine 0 oder 5 am Ende der Zahl kommen)

997 x 4 = (900 + 90 + 7 ) x 4 = 3600 + 360 + 28 = 3960 + 28 = 3988
Diese Aufgabe kann man auch anders berechnen, indem man (1000  – 3 ) x4 rechnet. (Diesen Kopfrechentrick haben wir auch schon im anderen Artikel verwendet.
Somit können wir einfach rechnen 4000 – 12 = 3988

Bis zum nächsten Artikel mit vielen weiteren Kopfrechentricks.

Trachtenbergsystem – Kopfrechentrick Multiplikation mit 6

Heute kommt noch einmal ein Kopfrechentrick von Trachtenberg dran. Und zwar das Multiplizieren mit der Ziffer 6.

Das Schema ist wieder identisch zu den anderen Beiträgen. Gegeben ist die Zahl 62202. Die wollen wir nur mit 6 multiplizieren. Dazu müssen wir wie bereits in den Artikeln Multiplizieren mit 11 und mit 12 die 0 an den vorderen Teil der Zahl anfügen, also 062202.
Das Trachtenbergsystem gibt wieder eine eindeutige Regel vor, die nun bei jedem Schritt gleich ist. Diese lautet:

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn“

Rechnen wir die Aufgabe einmal durch, dann sehen wir gleich was gemeint ist.

  1. Schritt: Wir nehmen die 2. Diese hat keinen Nachbarn: also wird sie einfach wieder angeschrieben

062202 x 6 = _ _ _ _ _ 2

  1. Schritt: Jetzt nehmen wir die 0 und addieren zu dieser Zahl die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Also die Hälfte von 2 ist 1. Die Rechnung lautet also 0 + 1 = 1 Also 1 an
    062202 x 6 = _ _ _ _ 1 2
  2. Schritt: Jetzt nehmen wir die 2. Der rechte Nachbar ist die 0. Die Hälfte von 0 ist 0. Also wird die 2 angeschrieben.
    062202 x 6 = _ _ _ 2 1 2
  3. Schritt: Jetzt kommt wieder die 2. Der rechte Nachbar ist diesmal auch eine 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Also lautet die Rechnung 2 + 1 = 3. Diesmal müssen wir 3 anschreiben
    062202 x 6 = _ _ 3 2 1 2
  4. Schritt: Fast geschafft. Jetzt ist die 6 an der Reihe. Der Nachbar von 6 ist die 2. Also addieren wir wieder die 1 zur 6. 6 + 1 = 7. Somit müssen wir die 7 anschreiben
    062202 x 6 = _ 7 3 2 1 2
  5. Schritt: Der letzte Schritt kommt wieder daher, dass wir die 0 an den Anfang der Zahl schreiben mussten. Dies also nicht vergessen. Sonst ist das Ergebnis nicht richtig. Jetzt nehmen wir die 0 und addieren die Hälfte des rechten Nachbarn hinzu, also die Hälfte von 6. Das ist 3. Somit lautet die Rechnung:  0 + 3 = 3. 3 wird angeschrieben
    062202 x 6 = 3 7 3 2 1 2

373212 ist das Ergebnis von 62202 x 6. Sehr schön, die Methode war doch relativ einfach. Der aufmerksame Leser wird sich am Anfang jedoch gleich gefragt haben, was passiert denn, wenn wir eine ungerade Zahl haben. Dann gibt es ja keine ganzzahlige Hälfte. Daher müssen wir unsere Regel noch einmal erweitern.

„Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wenn die Zahl ungerade ist addiere noch +5 dazu. Die Hälfte der ungeraden Zahl auf die kleinere Zahl abgerundet

Dann wollen wir noch einmal eine Rechnung ausführen um die Anwendung dieser Regelerweiterung zu veranschaulichen.

Nehmen wir 5321 x 6. Der erste Schritt besteht wieder darin die 0 an den Anfang zu schreiben.
05321 x 6

  1. Schritt: Die 1 wird genommen. Es gibt keinen rechten Nachbarn, also wird nichts dazu addiert. ABER: Die Zahl ist ungerade. Das heißt wir müssen + 5 dazu rechnen. Die Regel lautet ja addiere bei ungeraden Zahlen + 5 dazu. Also müssen wir hier 1 + 5 = 6 anschreiben
    05321 x 6 = _ _ _ _ 6
  2. Schritt: Jetzt kommt die 2 dran. Der Nachbar ist die 1. Die Hälfte von 1 ist ja 0,5. Die Regel lautet: abrunden! Dass heißt wir addieren die 0 zur 2. Da die Zahl gerade ist, müssen wir nichts weiter addieren. Also 2 + 0 = 2 an.
    05321 x 6 = _ _ _ 2 6
  3. Schritt: Die 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt wir müssen 5 dazu addieren. Der rechte Nachbar ist die 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Somit lautet die Rechnung 3 + 5 + 1 = 9. 9 an.
    05321 x 6 = _ _ 9 2 6
  4. Schritt: Jetzt kommt die 5. 5 ist ungerade also + 5. Der Nachbar ist die 3. Die Hälfte von 3 ist 1,5. Es wird abgerundet, also nehmen wir die 1. Die Rechnung lautet 5 +5 + 1= 11. Jetzt haben wir einen Übertrag. Also 1 an und 1 gemerkt
    05321 x 6 = _ 1 9 2 6
  5. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 dran. 0 ist gerade (ja ich weiß viel werden sagen die null ist weder gerade noch ungerade. Die Mathematische Definition von Gerade lautet aber: alle Zahlen die durch 2 teilbar sind. Und 0 ist eindeutig durch 2 teilbar.)
    Also 0 ist gerade. Wir müssen nichts dazu addieren, bis auf den rechten Nachbarn, dieser lautet 5. Die Hälfte von 5 ist 2,5. 2,5 abgerundet ergibt 2. Und jetzt den Übertrag nicht vergessen. Den wir noch von der letzten Rechnung hatten: Also 0 + 2 + 1 = 3
    05321 x 6 = 3 1 9 2 6

Das Ergebnis lautet somit 31926 und stimmt. Mit diesem Kopfrechentrick können wir schon mit 11, 12 und 6 gut Kopfrechnen. Das Trachtenbergsystem wird natürlich weiter geführt. Bis dahin wünsche ich viel Spaß beim anwenden!