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Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025.

Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42.

42^2

Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt

So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.

2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).

3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760

4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier 2^2 , und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + 2^2 . 1760 + 4 = 1764

Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.

Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + 4^2 und erhalten somit 2900 + 16 = 2916

Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:

  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9

Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68.

Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.

Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464

Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Mutliplikation – dreistellige mal einstellige Zahlen

Heute wollen wir noch das Berechnen von dreistelligen Zahlen mal einer einstelligen Zahl üben. Die Methode für das Kopfrechnen unterscheidet sich nicht wirklich hinsichtlich der Methode, die wir schon im Artikel zweistellige Zahlen mal einstellige Zahlen kennen gelernt haben. (Multiplikation zweistelliger mit einstelligen Zahlen)

Wir werden wieder die Zahlen in ihre Hunderter, Zehner und Einer zerlegen und dann jeweils die Teilmultiplikationen durchführen. Dadurch können wir dann alle Teile zusammen addieren und erhalten unser gesuchtes Ergebnis. Starten wir einmal einfach mit dem Kopfrechnen.

233 x 3 = (200 + 30 + 3) x 3 = 600 + (30 + 3) x 3 = 600 + 90 + 3 x 3 = 600 + 90 + 9 = 699

Das war nicht schwer. Schwieriger wird es nur mit der Zeit und ansteigender Größe der Zahlen, diese im Kopf zu behalten. Hierfür empfehlen sich Mnemotechniken um sich die Zahlen besser merken zu können. Hierzu wird auch noch ein eigener Artikel folgen, der Ihnen diese Methode beibringen wird. Hier sollte sie noch nicht erforderlich sein. Wollen wir gleich noch eine Kopfrechnung lösen

521 x 9 = (500 + 20 +  1 ) x 9 = 4500 + 180 + 9 = 4680 + 9 = 4689

Dies war auch nicht schwer. Bis jetzt hatten wir auch noch keinen Übertrag bei den Zahlen. Daher wollen wir doch einmal Aufgaben rechnen, die einen Übertrag enthalten.

684 x 6 = (600 + 80 + 4) = 3600 + 480 + 24 = 4080 + 24 = 4104

Was mir am Anfang Schwierigkeiten bereit hat ist diese Zahlenkolone bzw. das Anfangsproblem im Kopf zu behalten. Daher versuchen Sie die Aufgabe am Anfang noch mit Blick auf das Blatt zu lösen. Sie sollten sich aber immer öfter angewöhnen nicht mehr auf die Aufgabe sehen zu müssen. Das Kopfrechnen erfordert ja von uns die Aufgabe ohne jegliche Hilfsmittel zu lösen.

Das war es auch schon wieder mit dem Kopfrechnen für heute zum Abschluss noch zwei Aufgaben die Sie lösen können.

691 x 5 = ??
997 x 4 = ??

691 x 5 = (600 + 90 + 1) x 5 = 3000 + 450 + 5 = 3455 (Aufgaben mit 5 sind immer einfach, weil es keine Überträge geben kann und wir immer auf eine 0 oder 5 am Ende der Zahl kommen)

997 x 4 = (900 + 90 + 7 ) x 4 = 3600 + 360 + 28 = 3960 + 28 = 3988
Diese Aufgabe kann man auch anders berechnen, indem man (1000  – 3 ) x4 rechnet. (Diesen Kopfrechentrick haben wir auch schon im anderen Artikel verwendet.
Somit können wir einfach rechnen 4000 – 12 = 3988

Bis zum nächsten Artikel mit vielen weiteren Kopfrechentricks.

Trachtenberg – Multiplikation mit 12

Die Multiplikation mit 12 ist ein weiteres Beispiel dafür, wie einfach Multiplikationen durch einen kleinen Kopfrechentrick durchgeführt werden können. Der Trick lehnt sich von der Ausführung her an die Multiplikation mit 11. Sollte es also Verständnisschwierigkeiten geben, sollte vielleicht dieser Artikel noch einmal kurz überflogen werden, damit es klarer wird.

So dann wollen wir starten. Als erstes eine einfache Multiplikation. 113 x 12

Die Regel im Trachtenbergsystem lautet folgendermaßen:

  1. Nimm die Zahl, beginnend von der letzten, mal zwei
  2. Und addiere den rechten Nachbarn zu diesem Zahlenwert
  3. Schreibe die Zahl an, bei einer Zahl größer 10 nimm den hinteren Teil und übertrage die 1 zur nächsten Rechnung

Die Regeln sehen beziehungsweise lesen sich wieder schwerer als das ganze Prinzip ist. Daher werden wir gleich wieder eine Rechnung gemeinsam durchführen und dann können wir uns selbst von der Einfachheit des Trachtenbergsystems überzeugen

Also nochmal: 113 x 12

  1. Schritt:                 Die erste Zahl die wir nehmen müssen, ist die 3. Diese sollen wir mal 2 nehmen. Also 6. Jetzt das ganze zum rechten Nachbarn addieren. Bei der letzten Zahl gibt es keinen. Das heißt 6 wird angeschrieben
    _ _ _ 6
  2. Schritt:  Jetzt die zweite Zahl. Die 1 in der Mitte, mal 2 genommen ergibt 2 plus den rechten Nachbarn, die 3, ergibt eine 5. Somit wird die 5 angeschrieben
    _ _ 5 6
  3. Schritt: Jetzt kommt die dritte Zahl, wieder eine 1. Diese mal zwei genommen ergibt wiederum eine 2 plus den rechten Nachbarn, eine 1, ergibt also 3. Jetzt wird eine 3 angeschrieben
    _ 3 5 6
  4. Schritt: Wichtig! Hier müssen wir wieder die Ausnahme (wie bei der Multiplikation mit 11) beachten. Man muss im Trachtenbergsystem an jede Zahl eine 0 an den Anfang anfügen, dass heißt im Klartext wir rechnen mit der Zahl 0113. Somit ergibt sich der 4. Schritt als folgende Rechnung: 0 mal 2 ergibt immer noch Null plus den rechten Nachbarn, die 1, ergibt somit 1.
    1 3 5 6

Für alle Ungläubigen ein Griff zum Taschenrechner. Ja es stimmt 1356 ist das richtige Ergebnis. Somit sollten in Zukunft beim Kopfrechnen Multiplikationen mit der Zahl 12 kein Problem mehr für uns darstellen.  Um diesen Kopfrechentrick zu festigen wollen wir noch ein paar Übungen durchführen.

Jetzt 432 x 12  –>  0432 x 12 (0 nicht vergessen)

  1. Schritt: Wir nehmen wieder die 2 und multiplizieren diese mit 2. Also 4. Es gibt keinen rechten Nachbarn. Also 4 an
    _ _ _ 4
  2. Schritt: Wir nehmen die 3. Diese verdoppelt gibt die 6. Plus den rechten Nachbarn ergibt 8
    _ _ 8 4
  3. Schritt: Wir nehmen nun die 4. Diese mal 2 ergibt eine 8. Plus den rechten Nachbarn ergibt eine 11. So jetzt haben wir den Fall mit Übertrag. Dies bedeutet wir schreiben die 1 an und der Übertrag ist 1. Den bitte beim 4. Schritt nicht vergessen!
    _ 1 8 4
  4. Schritt: Jetzt haben wir die 0. Mal 2 ergibt wieder 0 plus den rechten Nachbarn, 4, ergibt eine 4 und jetzt noch plus den Übertrag 1, ergibt somit eine 5
    5 1 8 4

Schon warm geworden? Na dann werden wir noch eine Aufgabe rechnen. Man bemerkt schnell den Nachteil dadurch, dass man die Zahl mal 2 nehmen muss. Es entstehen bei Zahlen die größer 4 sind zwangsläufig immer Überschläge. Daher will ich nur zu bedenken geben ob man beim Kopfrechnen bei einer geeigneten Zahl nicht auch zu der Methode wechselt, die ich bereits in einem anderen Post beschrieben hab. Dieser Kopfrechentrick beschäftigte sich damit, dass man die Multiplikation in zwei einfache Multiplikationen aufteilt und einfach eine Addition am Ende durchführt. Aber das sehen wir uns gleich nochmal bei der nächsten Zahl an.

Sehen wir uns einmal die Zahl 867 x 12 an. Rechnen wir sie einmal nach Trachtenberg

867 x 12  –>  0867 x 12

  1. Schritt: 7 mal 2 ergibt 14. 4 an 1 gemerkt
    _ _ _ 4
  2. Schritt: 6 mal 2 ergibt 12. 12 + 7= 19. Übertrag nicht vergessen. 19 + 1 = 20. 0 an 2 gemerkt
    _ _ 0 4
  3. Schritt: 8 mal 2 ergibt 16. 16 + 6 = 22. Übertrag nicht vergessen. 22 + 2 = 24. 4 an 2 gemerkt
    _ 4 0 4
  4. Schritt: 0 mal 2 ergibt 0. 0 + 8 = 8. Übertrag nicht vergessen. 8 + 2 = 10. Also hier 10 an, da keine weitere Rechnung folgt
    10 4 0 4

Hier waren schon viele Überträge dabei. Jetzt vergleichen wir die Methode mal mit der Zerlegung der Multiplikation:

867 x 12 = 867 x ( 10 + 2) = 8670 + 2 x 867 = 8670 + 2 x (870 – 3) = 8670 + 1740 – 6 =
9 670 + 740 – 6 = 10370 +40 – 6 = 10410 – 6 = 10404

Welche Methode einem besser gefällt muss jeder für sich entscheiden, beziehungsweise wird man das schnell beim Üben bemerken was einem besser liegt.

Möglich wäre natürlich auch noch dieser Weg der auch nicht zu verachten ist und meiner Meinung nach noch schneller funktioniert.

867 x 12 = (900 – 33) x 12 = 9000 + 1800 – 33 x 12 = 10800 – (330 + 66) = 10800 – 396 = 10800 – 400 + 4 = 10404

Wert sind sie es auf alle Fälle beide zum probieren. Genau das ist aber das Konzept des Kopfrechnens. Probieren, Probieren, Probieren. Nicht von einem Weg aus Bequemlichkeit überzeugen lassen, Probieren sie mehrere Wege beim Kopfrechne aus. Schauen sie ob sie Ergebnisse so hinbiegen können, dass sie simple Rechentricks verwenden können. Und sie werden merken, mit der Zeit wird man schneller und schneller. Schon alleine durch das viele austesten bekommt man die Übung. Und das allerwichtigste daran ist, dass sie ein Gefühl für die Zahlen bekommen. Sie werden sehen welcher Weg schneller ust. Kaum haben Sie die Rechnung gesehen, wird Ihnen ihre Intuition sagen, was sie machen sollen. Das ist unser Ziel!!

Trachtenberg – Multiplizieren mit 11

Das Multiplizieren mit 11 habe ich ja bereits erläutert. Hier noch einmal die die Vorgehensweise, damit die Regel einen eigenen Post bekommt.

1253 x 11 =

  1. Schritt:

Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben
_ _ _ _ 3

  1. Schritt:

Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8
Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an.
_ _ _ 5 3

  1. Schritt:
    Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7
    Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an.
    _ _ 7 5 3
  2. Schritt:
    Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3
    _ 3 7 5 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253
    Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1
    Somit 0 + 1 = 1
    1 3 7 5 3

Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss.

Gleich noch eine Aufgabe zum Üben:

45762 x 11 = 045762 x 11

  1. Schritt:

Man nimmt die 2. Diese hat keinen rechten Nachbarn also wird sie wieder einfach hingeschrieben
– – – – – 2

  1. Schritt:

Jetzt nimmt man die 6. Diese hat die 2 als rechten Nachbarn. Das heißt: 6 + 2 = 8
Die 8 wird angeschrieben
– – – – 8 2

  1. Schritt:

Jetzt wird die 7 genommen. Rechter Nachbar ist die 6. Das heißt: 6 + 7 = 13
3 wird angeschrieben. Die 1 ist ein übertrag und muss zur nächsten Stelle mitgenommen werden.
– – – 3 8 2

  1. Schritt:
    Jetzt wird die 5 genommen. Der rechte Nachbar ist die 7. 7 + 5 = 12. Vorsicht nicht den Übertrag von vorher vergessen!! 12 + 1 = 13. Also wird die 3 angeschrieben und wieder ein Übertrag von 1
    – – 3 3 8 2
  2. Schritt:
    Jetzt wird die 4 genommen. Rechter Nachbar ist die 5. Somit können wir rechnen:
    5 + 4 + 1 = 10
    Also wird die 0 hingeschrieben, die 1 wird mitgenommen
    – 0 3 3 8 2
  3. Schritt:
    Jetzt kommt noch die 0 (die immer angefügt werden muss). Der rechte Nachbar ist die 4. Also 4 + 0 + 1 = 5 (Übertrag nicht vergessen)

5 0 3 3 8 2

Die letzte Aufgabe zum Üben in der Kurzform

3562 x 11 =
03562 x 11 =
(0+3)(3+5)(5+6)(6+2)2 = 39182

Das nächste Mal werden wir uns beim Trachtenbergsystem mit der Multiplikation mit 12 beschäftigen.

Zweistellige Zahlen mit einstelligen

Wir wollen einfach beginnen und zwar wollen wir erst einmal zweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren. Das geht einfach? Ja natürlich, aber ich wette auch wenn die „Schulmethode“ schon in Ordnung war, diese hier wird sie noch mehr verblüffen.
Das Prinzip lautet diesmal. Zerlege die Zahlen so, dass die Multiplikation immer einfacher wird. Dies ist vielleicht eine Regel, die Sie schon ganz unbewusst immer angewendet haben. Indem Sie die komplizierte Multiplikation in zwei leichte umgewandelt und dann das Ergebnis addiert haben.

Starten wir einfach mal mit einer leichten Aufgabe

32 x 4 = ?

Nun werden wir die Zahl 32 zerlegen. Und zwar in 30 und 2. Die Multiplikation lautet dann folgendermaßen:

(30 + 2) x 4 = ?

Warum wir dies gemacht haben ist ganz einfach. Jetzt können wir 30 x 4 + 2 x 4 rechnen. 2 x 4 ist sowieso sehr einfach zu berechnen. 30 x 4 auch. Eigentlich entspricht es 3 x 4 nur das wir am Ende noch eine 0 dranhängen. Also:

(30 + 2) x 4
30 x 4 =     120
2 x 4 =            8
120 + 8 =   128

Ein zweites Beispiel: 64 x 9

(60 + 4) x 9
60 x 9 = 540
4 x 9 = 36
540 + 36 = 576

Ich denke das sollte keine Probleme bereiten. Ich hoffe Sie haben den Vorteil dieser Methode gesehen und beim Rechnen gemerkt. Die Multiplikation wird im eigentlichen Sinne enorm einfach indem wir einfach 6 x 9 und 4 x 9 rechnen können. Die Addition haben wir zuvor schon geübt und sollte Ihnen nicht mehr schwer fallen. Ich hoffe vor allem Sie davon überzeugt zu haben, dass diese Variante um einiges schneller geht als das mühsame Rechnen der Schule, wo man erst damit begonnen hat 4 x 9 = 36. Also 6 an, 3 gemerkt. 6 x 9 = 54. 4 + 3 = 7. 7 an und dann die 5 davor. 576

Das nächste Problem der alten Methode ist wieder einmal das von hinten kommen. Mit der neuen Art die Multiplikation zu lösen kommen wir von vorne also wieder von links nach rechts. Somit können wir wieder beginnen das Ergebnis zu nennen bevor wir überhaupt mit dem Rechnen fertig sind. (Was natürlich einiges an Übung erfordert diese Vorgänge zu synchronisieren. Aber die Arbeit ist es wert!)

Eine schöne Zahl bei der Multiplikation ist die 5. Multiplizieren wir die Zehnerstelle mit der 5 bzw. ist die Zehnerstelle eine 5, so kommt immer ein voller Zehner am Ende der Zahl heraus.

46 x 5 = (40 + 6) x 5 =
40 x 5 = 200
6 x 5 = 30
200 + 30 = 230

Als zweites Beispiel jetzt die Zehnerstelle mit der 5

57 x 7 = (50 + 7) x 7
50 x 7 = 350
7 x 7 = 49
350 + 49 = 399

Natürlich können wie schon bei der Addition und Subtraktion die Zahlen auch aufrunden. Nehmen wir dafür das folgende Beispiel:

69 x 8 = (60 + 9) x 8    Diese Variante wäre in diesem Fall etwas umständlich, einfacher ist
69 x 8 = (70 – 1) x 8
70 x 8 = 560
1 x 8 = 8
560 – 8 = 552

Und noch ein Beispiel:

89 x 7 = (90 -1) x 7
90 x 7 = 630
1 x 7 = 7
630 – 7 = 623

Auch nicht wirklich schwer, oder? Das Aufrunden sollte genutzt werden solange man maximal um 2 aufrunden muss. Ab 3 macht es schon weniger Sinn, weil dann die Subtraktionen schwieriger werden und meiner Meinung nach länger dauern als die Multiplikation und Addition des Gegenstücks.

Das war es auch schon wieder für die Multiplikation von zweistelligen mit einstelligen Zahlen. Diese Technik ist sehr wichtig und sollte eingehend geübt werden, da sie immer wieder verwendet werden muss, auch bei größeren Multiplikationen. Also üben, üben, üben. Lieber 10 Minuten am Tag, als einmal in der Woche 30 Minuten. Das regelmäßige Üben gewohnt Sie daran. Und genau das ist das Wichtige. Nicht das schneller rechnen ist die Schwierigkeit, sonder das Umgewöhnen. Sie müssen mit einer neuen Einstellung an diese Aufgaben herangehen. Man erwischt sich immer wieder dabei die Aufgaben auf die altbewährte Methode zu lösen. Kontrollieren Sie sich! Und wenn Sie sich dabei erwischen, sofort umdenken! Haben Sie das ganze zwei bis drei Wochen geübt hat sich die Denkweise automatisiert und Sie werden sehen wie leicht es Ihnen fällt