Tag Archives: Schneller Rechnen

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025.

Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42.

42^2

Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt

So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.

2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).

3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760

4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier 2^2 , und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + 2^2 . 1760 + 4 = 1764

Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.

Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + 4^2 und erhalten somit 2900 + 16 = 2916

Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:

  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9

Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68.

Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.

Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464

Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg.

Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe:

24 x 24

  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen)
    _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt
    _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576

Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen.

43 x 43

  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben
    _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2
    _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben
    1 8 4 9

Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen.

62 x 62

  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an.
    04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin
    24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin
    36   24   04

Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen
3(6  2) (4  0) 4
Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4

Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben

76 x 76

6 x 6 = 36
7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84
7 x 7 = 49

4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6

Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Zweistellige Zahlen mit einstelligen

Wir wollen einfach beginnen und zwar wollen wir erst einmal zweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren. Das geht einfach? Ja natürlich, aber ich wette auch wenn die „Schulmethode“ schon in Ordnung war, diese hier wird sie noch mehr verblüffen.
Das Prinzip lautet diesmal. Zerlege die Zahlen so, dass die Multiplikation immer einfacher wird. Dies ist vielleicht eine Regel, die Sie schon ganz unbewusst immer angewendet haben. Indem Sie die komplizierte Multiplikation in zwei leichte umgewandelt und dann das Ergebnis addiert haben.

Starten wir einfach mal mit einer leichten Aufgabe

32 x 4 = ?

Nun werden wir die Zahl 32 zerlegen. Und zwar in 30 und 2. Die Multiplikation lautet dann folgendermaßen:

(30 + 2) x 4 = ?

Warum wir dies gemacht haben ist ganz einfach. Jetzt können wir 30 x 4 + 2 x 4 rechnen. 2 x 4 ist sowieso sehr einfach zu berechnen. 30 x 4 auch. Eigentlich entspricht es 3 x 4 nur das wir am Ende noch eine 0 dranhängen. Also:

(30 + 2) x 4
30 x 4 =     120
2 x 4 =            8
120 + 8 =   128

Ein zweites Beispiel: 64 x 9

(60 + 4) x 9
60 x 9 = 540
4 x 9 = 36
540 + 36 = 576

Ich denke das sollte keine Probleme bereiten. Ich hoffe Sie haben den Vorteil dieser Methode gesehen und beim Rechnen gemerkt. Die Multiplikation wird im eigentlichen Sinne enorm einfach indem wir einfach 6 x 9 und 4 x 9 rechnen können. Die Addition haben wir zuvor schon geübt und sollte Ihnen nicht mehr schwer fallen. Ich hoffe vor allem Sie davon überzeugt zu haben, dass diese Variante um einiges schneller geht als das mühsame Rechnen der Schule, wo man erst damit begonnen hat 4 x 9 = 36. Also 6 an, 3 gemerkt. 6 x 9 = 54. 4 + 3 = 7. 7 an und dann die 5 davor. 576

Das nächste Problem der alten Methode ist wieder einmal das von hinten kommen. Mit der neuen Art die Multiplikation zu lösen kommen wir von vorne also wieder von links nach rechts. Somit können wir wieder beginnen das Ergebnis zu nennen bevor wir überhaupt mit dem Rechnen fertig sind. (Was natürlich einiges an Übung erfordert diese Vorgänge zu synchronisieren. Aber die Arbeit ist es wert!)

Eine schöne Zahl bei der Multiplikation ist die 5. Multiplizieren wir die Zehnerstelle mit der 5 bzw. ist die Zehnerstelle eine 5, so kommt immer ein voller Zehner am Ende der Zahl heraus.

46 x 5 = (40 + 6) x 5 =
40 x 5 = 200
6 x 5 = 30
200 + 30 = 230

Als zweites Beispiel jetzt die Zehnerstelle mit der 5

57 x 7 = (50 + 7) x 7
50 x 7 = 350
7 x 7 = 49
350 + 49 = 399

Natürlich können wie schon bei der Addition und Subtraktion die Zahlen auch aufrunden. Nehmen wir dafür das folgende Beispiel:

69 x 8 = (60 + 9) x 8    Diese Variante wäre in diesem Fall etwas umständlich, einfacher ist
69 x 8 = (70 – 1) x 8
70 x 8 = 560
1 x 8 = 8
560 – 8 = 552

Und noch ein Beispiel:

89 x 7 = (90 -1) x 7
90 x 7 = 630
1 x 7 = 7
630 – 7 = 623

Auch nicht wirklich schwer, oder? Das Aufrunden sollte genutzt werden solange man maximal um 2 aufrunden muss. Ab 3 macht es schon weniger Sinn, weil dann die Subtraktionen schwieriger werden und meiner Meinung nach länger dauern als die Multiplikation und Addition des Gegenstücks.

Das war es auch schon wieder für die Multiplikation von zweistelligen mit einstelligen Zahlen. Diese Technik ist sehr wichtig und sollte eingehend geübt werden, da sie immer wieder verwendet werden muss, auch bei größeren Multiplikationen. Also üben, üben, üben. Lieber 10 Minuten am Tag, als einmal in der Woche 30 Minuten. Das regelmäßige Üben gewohnt Sie daran. Und genau das ist das Wichtige. Nicht das schneller rechnen ist die Schwierigkeit, sonder das Umgewöhnen. Sie müssen mit einer neuen Einstellung an diese Aufgaben herangehen. Man erwischt sich immer wieder dabei die Aufgaben auf die altbewährte Methode zu lösen. Kontrollieren Sie sich! Und wenn Sie sich dabei erwischen, sofort umdenken! Haben Sie das ganze zwei bis drei Wochen geübt hat sich die Denkweise automatisiert und Sie werden sehen wie leicht es Ihnen fällt

Multiplikation – aller Anfang ist schwer

In der Multiplikation können die Zahlen schnell sehr groß werden. Daher werden wir anfangs noch bei kleineren Produkten bleiben, die wir dann nach und nach steigern können. Da das Feld etwas ausführlicher sein wird als Addition und Subtraktion werde ich die Multiplikation in einige Teilbereich aufspalten, die wir dann nacheinander abhandeln können.

  1. Das kleine Einmaleins
  2. Multiplizieren einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  3. Multiplizieren einer dreistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl
  4. Quadrieren zweistelliger Zahlen
  5. Multiplizieren von zwei zweistelligen Zahlen
  6. Quadrieren von dreistelligen Zahlen
  7. Mnemotechniken (Zahlen besser merken)
  8. Multiplikation von dreistelligen Zahlen mit zweistelligen Zahlen
  9. Quadrieren von vierstelligen Zahlen
  10. Kubieren von Zahlen
  11. Multiplikation von zwei dreistelligen Zahlen

Das sollte erst einmal reichen und wird uns eine ganze Zeit beschäftigen.

Beim ersten Punkt werden sich einige an die Schulzeit zurückversetzt fühlen (falls sie nicht noch mitten drin stecken). Und ich muss ihnen auch leider gleich einen „kleinen“ Dämpfer geben. Das kleine Einmaleins muss sitzen. Und zwar wirklich sitzen. Ohne die Grundmultiplikationen werden wir bei den anderen Rechnungen nie auskommen. Beziehungsweise werden die anderen Rechnungen so aufgebaut sein, dass wir alles auf einfache Multiplikationen des Einmaleins zurückführen werden (so viel schon einmal vorweg). Daher müssen sie das kleine Einmaleins beherrschen. Bis zum nächsten Eintrag haben sie ja noch etwas Zeit um zu trainieren. (Einziger Ausweg wäre das System von Trachtenberg, welches ich auch zu einem späteren Zeitpunkt einmal erläutern werde. Mit diesem System kann man auch Multiplikationen der Grundrechenarten durch kleinere Tricks vereinfachen)

Hier ein paar kleine Hilfen, mit denen es vielleicht leichter geht.

  1. Im Alltag: Sich nicht vor kleinen Rechnungen scheuen und lieber mal den Taschenrechner liegen lassen
  2. Beim Autofahren: Nehmen sie sich die Nummern vom Vordermann vor und versuchen sie diese kreuz und quer zu multiplizieren. Geben Sie sich vielleicht sogar eine feste Zahl vor z.B. 78. Jetzt versuchen Sie die Zahlen so zu multiplizieren, addieren, subtrahieren, dass sie auf diese Zahl kommen. Für die Addition lohnt es sich vielleicht, gleich 2 oder 3 Ziffern auf einmal zu nehmen um mit höheren Zahlen rechnen zu können.
  3. Gehen Sie einfach wachsam durch die Welt und nehmen einmal war wie oft Sie mit Zahlen konfrontiert werden. Nutzen Sie „tote“ Zeiten und spielen Si emit den Zahlen. Das mag sich vielleicht seltsam anhören. Aber hinsichtlich des letzten Punktes schaffen Sie es somit leicht, die 10 Minuten gut in den Tag hinein zu bauen, ohne das es einen Zeitverlust darstellt. Probieren Sie es einfach aus. Mir hat es geholfen.
  4. Und wichtigster Punkt. Jeden Tag zehn Minuten üben, üben, üben! Zehn Minuten sind nicht viel. Diese kann man respektive Punkt 1 – 3 so in den Tag einbauen, dass sie einem garnicht abgehen. Und noch ein wichtiger Grundsatz wenn sie voller Enthusiasmus ans Werk gehen. Trainieren Sie lieber dreimal am Tag 10 Minuten, als einmal am Tag 30 Minuten.  Das ist effizienter, schont die Nerven und bringt Sie schneller an den gewünschten Erfolg.

Alles gut verdaut? Na dann kanns ja beim nächsten mal wieder mit der Rechenarbeit beginnen. Bis dahin üben sie fleißig. Es wird sich lohnen, beruflich wie auch die Bewunderung anderer einbringen.

Multiplizieren – Endziffern Summe 10

Ein nächster faszinierender Trick ist die Multiplikation mit Zahlen die mit der gleichen Ziffer beginnen und deren Endziffern die Summe 10 ergeben  z.B. 23 x 27  (ich weiß, dass sind viele Eingrenzungen und man hat wohl nicht immer die Möglichkeit diesen Trick einzusetzen, aber bei einigen Multiplikationsaufgaben ist er sehr hilfreich)

Der Trick ist wieder ähnlich simpel , wie beim Quadrieren mit der Endziffer 5. Als erstes nehmen wir die 2, erhöhen sie um 1 und multiplizieren sie wieder mit der 2. Also (2+1) x 3 = 6. Die 6 ist wieder unsere erste Ziffer. Jetzt brauchen wir noch das Ende. Das kriegen wir diesmal indem wir die beiden Endziffern miteinander multiplizieren. Also 3 x 7 = 21. Somit sollte unsere gesuchte Zahl 621 sein.

Ok noch ein paar weitere Aufgaben zum festigen:

33  x 37 =             (3 x 4)  (3 x 7)   = 12       21 = 1221

46 x 44 =              (4 x 5)   (6 x 4)   = 20       24 = 2024

72 x 78 =              (7 x 8 )  (2 x 8)   = 56       16 = 5616

Das war es auch schon wieder. Nun im nächsten Post, werden wir endlich mit der normalen Multiplikation beginnen. Also seien sie schon mal gespannt auf die Einführung.