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Subtrahieren – Von Links nach Rechts (Teil2)

Da wir die Methode schon das letzte Mal erläutert haben, hier noch einmal eine kurze Wiederholung. Ich werde das Prinzip noch einmal an einer einfachen Rechnung mit einer dreistelligen Zahl erläutern. Wir fangen wieder an: Zuerst die Hunderter, dann die Zehner und als letztes die Einer.

469 – 234
469 – (200 + 34)
269 – (30 + 4)
239 – 4
235

Das war wieder eine einfache Rechnung. Wir hatten keine Probleme mit „Überschlägen“. Jetzt wieder ein Beispiel bei dem es anfangs nicht so leicht scheint, dass wir aber wie im 1. Teil durch aufrunden leicht lösen können.

632 – 497
632 – (400 + 97)
232  – (90 + 7)
142 – 7
135

Ohne aufrunden ist die Rechnung sehr umständlich. Also das ganze jetzt nochmal, indem wir die 497 auf 500 aufrunden und die 3, die wir zu viel abgezogen haben, am Ende wieder zur Zahl addieren

632 – 497
632 – (500 – 3)
132 + 3
135

Voilá. Ich denke das dürfte um einiges leichter gefallen sein, als der erste umständliche Weg. Dann packen wir noch eine Aufgabe, bevor wir uns noch um ein neues Problem kümmern müssen.

892 – 294
892 – (300 – 6)
592 + 6
598

Die Zahlen waren natürlich bewusst wieder so gewählt, dass sie sich nahe an den hunderten befinden. 497, 294 dort sieht man sofort wie viel zur nächsten vollen Zahl fehlt. Aber natürlich geht es leider nicht immer ganz so einfach. Was passiert bei 465 – 378? Oder 832 – 463? Dort ist es nicht mehr so einfach zu sehen? Finde ich auch, deshalb sollten wir uns eine weitere Methode zu Gemüte führen, wie wir die Differenz zur vollen Zahl schnell finden können.

Also zurück zum ersten Problem: 465 – 378. Unsere Aufgabe ist ja schließlich folgende Zahl zu finden.

465 – 378
465 – (400 –x)

Doch wie kann man effizient das x ausrechnen? Ein einfacher Trick reicht aus. 78 -> 100
Nehmen sie bei der ersten Zahl die 3 und ziehen 1 ab. Bei der zweiten Zahl nehmen wir einfach die 2, die den Zehner voll macht.
22 Wäre also die gesuchte Zahl.               78+ 22 = 100

Das nächste Problem 832 – 463? Also suchen wir folgende Zahl

832 – 463
832 – (500 – x)

Jetzt wenden wir wieder den folgenden Trick an: 63
1. Zahl: 4 fehlen bis zum vollen hunderter, aber 1 abziehenà also 3
2. Zahl: 7 fehlen bis zum vollen Zehner
37 wäre also die gesuchte Zahl                63 + 37 = 100

Dies funktioniert natürlich auch bei beliebig vielen Stellen. Probieren wir es doch einmal bei einer vierstelligen Zahl aus: 4678 + x = 5000

1.Zahl: zur 6 fehlen noch 4 für den vollen Tausender, aber noch 1 abziehen à 3
2.Zahl: zur 7 fehlen noch 3 für den vollen Tausender, aber noch 1 abziehen à2
3. Zahl: zur 8 fehlen noch 2 für den vollen Zehner. Letzte Zahl, bleibt wie sie ist à 2

4678 + 322 = 5000

Ok, jetzt können wir unser neu erworbenes Wissen in unser ursprüngliches Problem bei der Subtraktion einbauen.  Ich werde die zwei Methoden noch einmal vergleichen und wir werden sehen, dass der 2. Weg eindeutig schneller und leichter ist.

1.Weg                  465 – 378            ohne Trick

465 – 378
465 – (300 + 78)
165 – (70 + 8)
95 – 8
87

2. Weg                 465 – 378             mit Trick

465 – 378
465 – (400 – 22)
65 + 22
87

Der zweite Weg war doch wesentlich einfacher oder? Nun zur Übung noch das letzte Beispiel und damit auch das Ende über das Subtrahieren.

832 – 463
832 – (500 – 37)
332 + 37
369

Wem das Addieren und Subtrahieren schon zu langweilig geworden ist, der wird sich auf das nächste Thema freuen. Wir fangen mit der Multiplikation an. Gleich am Anfang werde ich zwei bis drei kleinere Tricks aufzeigen. An diesen wird man schnell erkennen, welch gewaltiges Potenzial beim Kopfrechnen noch möglich ist.

Subtrahieren – Von Links nach Rechts (Teil 1)

Wie erwartet, werden wir auch beim Subtrahieren die Methode von Links nach Rechts anwenden. Das Prinzip sollte schon von der Addition her bekannt sein. (Für alle die neu dazugekommen sind: Hier ist die Addition)
Bei der Subtraktion werden sich noch ein paar Feinheiten ergeben, die es bei der Addition nicht gab. Aber zu diesen später. Erstmal zum warmwerden eine kleine Aufgabe:

  1. 45 – 32
  2. 45 – (30 + 2)
  3. 15 – 2
  4. 13

Wie gesagt, bei der Subtraktion bleibt das Prinzip das gleiche.

78 – 55
78 – (50 + 5)
28 – 5
23

Nun waren die Aufgaben natürlich wieder einfach, da es keinerlei Probleme beim subtrahieren gab. Es gab keinen Überschlag, die Zahlen der zweiten Zahl waren von mir immer so gewählt, dass sie die erste nicht übersteigen.
Dann wollen wir den Schwierigkeitsgrad etwas erhöhen und diese Randbedingung weglassen. Mal sehen wie wir das Problem angehen wollen. Erst einmal nach der alten Methode.

53 – 29
53 – ( 20 + 9)
33 – 9
24

Der Anfang war sichtlich kein Problem. Zum Ende hin wurden wir jedoch gezwungen, 3 – 9 zu rechnen. Es gab einen Überschlag und mussten die 30 nachträglich auf 20 reduzieren. Wie können wir das vermeiden? Das gleiche Prinzip haben wir schon bei der Addition kennengelernt. Wie runden einfach auf. Hier ist es natürlich so, dass wir den Rest jetzt dazu addieren müssen, den wir zu viel abgezogen haben. Dann sieht die Rechnung folgendermaßen aus:

53 – 29
53 – (30 – 1)
23 + 1
24

Diese Methode wenden wir immer an, wenn es einen „Überschlag“ geben sollte. Was nichts anderes heißt, dass das Ende der zweiten Zahl größer ist, als das der ersten Zahl. Nochmal ein Beispiel:

73 – 46
73 – (50 – 4)
23 + 4
27

Mit diesem Prinzip ist das Subtrahieren doch ziemlich einfach geworden. Bei zweistelligen Zahlen sollten keine weiteren Probleme mehr auftreten. Anders sieht es bei dreistelligen oder x-stelligen Zahlen aus. Doch dazu im nächsten Eintrag mehr

Addition von Links nach Rechts (Teil2)

Nachdem wir das letzte Mal den Grundstein für das Rechnen von Links nach Rechts gelegt haben, können wir nur mit größeren Zahlen anfangen. Dies ist gleichzeitig eine gute Wiederholung für das besprochene aber auch ein paar kleine neue Aspekte werden auftauchen.
Also wieder Addieren von Links nach Rechts

342  + 567
342 + (500 + 67)             dreihundertzweiundvierzig       plus       fünfhundertsiebenundsechzig
842 + (60 + 7)                   achthundertzweiundvierzig plus       siebenundsechzig
902 + 7                                 neunhunderundzwei plus       sieben
909                                        neunhundertundneun

Ich hoffe sie haben seit dem letzten Mal schon fleißig geübt, damit wir auch gleich weitermachen können.

783 + 664
783 + (600 + 64)
1383 + (60 + 4)
1443 + 4
1447

Ok, die Aufgabe war schon etwas schwerer. Zwei Überschläge und es erfordert schon etwas Übung sich das Ergebnis im Gedächtnis zu halten, während man weiter rechnet. Mir ging es nicht anders. Ich hatte anfangs die gleichen Probleme. Mir hat es geholfen erst einmal laut zu rechnen. (Darum schreibe ich auch die Zahlen immer aus und hab im letzten Kapitel auch kurz darüber gesprochen, dass die Zahlen in der deutschen Sprache leider nicht immer intuitiv sind) JA ich weiß, auch wenn wir Kopfrechnen üben, hilft es doch ungemein sich die Methode erstmal durch ein paar weitere Sinnesorgane anzugewöhnen. Man behalten ja Inhalt bekanntlich am besten, umso mehr Sinne daran beteiligt sind. Ziel ist es natürlich nicht mehr über die Methode selbst nachdenken zu müssen, sondern das Kopfrechnen für sich zu üben. Solange sie immer noch darüber nachdenken, wie war das, achso die Zahl zuerst… werden sie das Kopfrechnen selbst nie perfektionieren können.

354 + 892  ->  892 + 354
892 + (300 + 54)
1192 + (50 + 4)
1242 + 4
1246

Sortieren sie die Zahlen der Größe nach. Was sie vielleicht bisher als selbstverständlich angenommen haben, weil ich ihnen die Zahlen schon immer geordnet vorgegeben habe, ist natürlich nicht immer der Fall. Wir addieren immer zur größten Zahl die kleinste. Dadurch werden die Rechenoperationen überschaubarer und bekommen einfach die nötige Struktur, die wir noch brauchen werden, wenn die Zahlen sagen wir später mal im sechs bis siebenstelligen Bereich liegen.

Und nun noch ein letzter wichtiger Aspekt, den ich das letzte Mal schon angedeutet habe. Was passiert wenn es sehr häufig zu Überschlägen kommt? Dort wirkt die Methode unpraktisch und umständlich. Stimmt auch. Daher sollten wir uns ein Hilfsmittel bei solchen Aufgaben zurechtlegen. Am besten machen wir es einmal an einem Beispiel fest.

672 + 498
672 + (400 + 98)
1072 + (90 + 8)
1162 + 8
1170

Das war schon ziemlich umständlich. Einfacher geht es wenn wir die 498 erst auf 500 aufrunden, und danach die 2 abziehen, die wir zu viel addiert haben.

672 + 498
672 + (500 -2)
1172 -2
1170

Ich denke der Rechenweg spricht für sich. Mit dieser Methode machen wir uns auch unangenehme Zahlen her. Das ist doch alles selbstverständlich?  Ja eigentlich schon, aber die Kunst besteht darin diese Vereinfachungen schnell zu erkennen. Wer zu lange überlegen muss, welcher Weg nun er einfachste ist, hat den Kampf gegen den Taschenrechner schon verloren.
Will sie also jemand ärgern und gibt ihnen zwei Zahlen, die für ihn „kompliziert“ erscheinen, tut er ihnen in Wirklichkeit einen gefallen.

782 + 489
782 + (500 – 11)
1282 – 11
1271

Und noch eine letzte Aufgabe zum Üben

897 + 594
897 + (600 -6)
1497 – 6
1491

Der nächste Eintrag wird dann über das Subtrahieren zweier Zahlen gehen. Die Frage ist ob die Methode von Links nach Rechts auch dort ihre Wirkung zeigt und wie man die verschiedenen „Arten“ von Subtraktionen am schnellsten lösen kann.

Addition – Von Links Nach Rechts (Teil 1)

Hallo zu meinem ersten Bloggeintrag. Heute will euch zeigen, wie man effizient und schnell addieren kann.  Viele werden sich denken, addieren ist ja kein Problem. Oder das sie in diesem Artikel nichts wirklich neues erfahren. Aber: Erst lesen, an Übungsaufgaben probieren und dann urteilen.
Vorweg noch eine Anmerkung. Bei den Zahlenbeispielen mit zweistelligen Zahlen werden die meisten den Sinn dahinter noch nicht wirklich erkennen, hab ich um ehrlich zu sein auch nicht, als ich damit anfing von links nach rechts zu addieren. Jedoch wurde mir bei größeren Additionen schnell bewusst, dass die Methode aus der Schule versagt.

  1. Unser Ziel ist ja schnell zu rechnen, oder dein Eindruck zu vermitteln schnell zu rechnen. Wie das mit dem Eindruck gemeint ist? Stellen wir uns zwei Leute vor die beide eine vierstellige Zahl addieren. Sagen wir 1456 + 5312. Der von Links nach Rechts gerechnet hat, wird sofort das Ergebnis sagen können. „Antwort ist sechstausend siebenhundert ….“. Während er das Resultat nennt, kann er immer noch weiterrechnen.  Die zweite Person, die herkömmlich von rechts nach links gerechnet hat, wird ihr Ergebnis erst nennen können, wenn er am Ende angelangt ist. Mag er noch so schnell rechnen. Der Andere erweckt immer den Eindruck schneller gerechnet zu haben.
  2. Hat es nicht etwas Natürliches die Zahlen von Links nach Rechts zu lesen? Ich denke schon. Daher ist es doch nur von Vorteil das Addieren endlich mal an diese Leseweise anzupassen
  3. Hat man die Methode erstmal eingeübt, wird man es viel leichter haben Additionen zu überschlagen. Sagen wir einmal, sie müssten mit die beiden Zahlen 2 345 897 und 5 713 989 addieren, beziehungsweise reicht ihnen eine ungefähre qualitative Aussage über die Größe. Ist es da wirklich sinnvoll mit dem Ende der Zahlen zu beginnen? Dort wären gleich am Anfang drei unschöne Überschläge drinnen (ja die Zahlen wurden natürlich absichtlich so gewählt). Einfacher ist es doch zu sagen es sind ungefähr 8 Millionen.
  4. Der letzte Grund bevor wir beginnen. Es ist einfach schneller.

So, jetzt wollen wir aber endlich damit beginnen unsere ersten Aufgaben zu rechnen.  Wir fangen an und addieren zwei zweistellige Zahlen miteinander.

52 + 45

Die Methode heißt: Von Links nach Rechts addieren. Wir addieren somit zuerst die Zehner, dann die Einerstellen. Und dies nacheinander. Nun hier als Beispiel:

  1. 52 + 45                 zweiundfünfzig und  fünfundvierzig
  2. 92 + 5                   zweiundneunzig  und  fünf
  3. 97                          siebenundneunzig

Einfach nicht? So einfach, dass es zu umständlich erscheint die alte Methode, die sie jahrelang gehegt und gepflegt haben einfach über den Haufen zu schmeißen? Falls sie das immer noch denken versuchen sie sich einfach dafür zu motivieren, indem sie die obersten drei Punkte noch einmal durchlesen und nachzuvollziehen, was diese Methode ausmacht. Also die nächste Aufgabe

64 + 53                 vierundsechzig plus                      dreiundfünfzig
64 + (50 + 3)
114 + 3                 einhundertvierzehn plus                       drei
117                        einhundertsieben

Ein Punkt bzw. ein Problem das leider durch die deutsche Sprache entsteht ist, dass wir am Ende immer die Zahlen verdrehen. Vierundsechzig, dreiundfünfzig. Daher ist es sprachlich oft nicht mehr intuitiv die Addition zu verdrehen. Das Problem haben z.B.  die englisch sprachigen Länder nicht. Dort heißt es „normal“ sixtyfour und onehundretseventythree. Da die meisten Bücher leider aus dem englischsprachigen Raum kommen, wird hierfür auch keine richtige Lösung angeboten.  Mich persönlich hat es nie gestört, da ich mir die Addition mehr bildlich vorstelle und die Zahlen „vor meinem geistigen Auge“ sehe. Es soll jedoch auch Leute geben, die sich mehr an der Sprache orientierten. Sollte Ihnen eine gute Lösung einfallen dürfen sie es gerne als Kommentar anfügen, dann kann ich es auch in den Artikel übernehmen.

Nun sicher wird der aufmerksame Leser schon gemerkt haben: schön und gut, aber was passiert bitte bei einem Überschlag, dann verändert sich ja die Zehnerstelle wieder. Genau hier kommt der Aspekt der Übung und des intelligenten Abschätzens hinein. Ein kurzer Blick über die Zahl verrät ziemlich schnell, ob ein Überschlag zustande kommen wird oder nicht.  (Dies sollte vor allem hinsichtlich des 1.  Genannten Vorteils berücksichtigt werden. Es sieht doch nicht gut aus wenn man beginnt: „Das Ergebnis lautet fünfhun… nein sechshundert und …“)

35 + 47
35 + (40 + 7)
75 + 7
82
Was passiert jedoch wenn viele Überschläge in der Zahl sind, so dass unsere neue Methode droht daran zu scheitern? Da der erste Eintrag schon sehr lang wurde, werden wir mit dieser Frage und der Addition von drei- und vierstelligen Zahlen im nächsten Eintrag fortfahren . In der Zwischenzeit können sie sich das addieren von Links nach Rechts schon einmal im Alltag angewöhnen und jeden Tag ein paar Minuten üben. Sie werden sehen, welch erstaunliche Fortschritte man dadurch erzielen kann, wenn einem die Methode erstmal in Fleisch und Blut übergegangen ist.