Author Archives: Admin_Kopfrechnen

Kopfrechentrick – Quadratwurzel im Kopf ziehen

Mittwoch, 15 September 2010 17:52
Written by Admin_Kopfrechnen
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Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen. Die Näherungsformel lautet: $latex a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N – a_{n}^2}{2a_{n}^2}$ Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten. Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen. Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für $latex \sqrt{51} $ N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

$latex a_{n} $    (hier also = 7)

$latex a_{n} $ ist ein Näherungswert für das Ergebnis

$latex a_{n+1} $

$latex a_{n+1} $ ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für $latex a_{n+1} $ heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert $latex a_{n+1} $ und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit $latex a_{n+1} $. (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus) $latex a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N – a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}$

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus: $latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 7^2}{2\times7^2}$

Dann können wir rechnen:

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 49}{2\times49}$

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}$

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203$

$latex a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421 $

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind. Das Ergebnis von $latex \sqrt{51} = 7,1414284 $ Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig. Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes $latex a_{n} $ zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel: Eine genauere Schätzung für $latex a_{n} $ erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen. $latex a_{n} = k/l $  (hier $latex a_{n} = 50/7$  also k = 50 und l = 7 Die Formel lautet: $latex a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N – k^2}{2k^2}$ Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 – 50^2}{2\times50^2}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 – 2500}{2\times2500}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}$  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}$

$latex a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}$

$latex a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857$

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt. Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden. 4999 / 7 = 7 4999 – 4900 = 99 –> 990 / 700 = 1 Rest 290 –>2900 / 700 = 4 Rest 100 –>1000/700 = 1 Rest 300 –>3000 /700= 4 Rest 200 …… Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Montag, 30 August 2010 07:39
Written by Admin_Kopfrechnen
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Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025. Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42. $latex 42^2 $ Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert. 1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil. 2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt). 3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760 4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier $latex 2^2 $, und zum Ergebnis dazu addieren. Also: 1760 + $latex 2^2 $. 1760 + 4 = 1764 Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54. Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58. Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900 Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + $latex 4^2 $ und erhalten somit 2900 + 16 = 2916 Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:
  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9
Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68. Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624. Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird. Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464 Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Trachtenbergsystem ( Kopfrechnen ) – Quadrieren von dreistelligen Zahlen

Sonntag, 11 Juli 2010 06:29
Written by Admin_Kopfrechnen
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Die Methode geht im Großen und Ganzen wie die bereits beschriebene Methode im Trachtenbergsystem um zweistellige Ziffer zu quadrieren Wir quadrieren diesmal dreistellige Zahlen und zwar werden wir uns erst einmal 321 annehmen und größere Überträge zu vermeiden. Dann wollen wir anfangen:
  1. Die ersten Regeln sind die selben Regeln wie für das Quadrieren von zweistelligen Zahlen. Wir nehmen erst die 21 und tun so, als ob es die 3 nicht gibt! also rechnen wir: 1 x 1 = 1 also 1 an _ _ _ _ _ 1
  2. Danach müssen wir wieder 2 x 1 = 2 rechnen und das ganze verdoppeln: also 4 _ _ _ _ 4 1
  3. Jetzt rechnen wir 2 x 2 = 4 und schreiben die4 an _ _ _ 4 4 1
  4. 1. Regel: Jetzt kommt ein neuer Punkt Multipliziere die erste Ziffer mit der letzten und verdoppele das Ergebnis. Addieren die erhaltene Zahl, beginnend bei der 1. Ziffer Also rechnen wir 3 x 1 = 3 und verdoppeln das Ganze und erhalten 3 x 2 = 6 Jetzt addieren wir das ganze zur 1. Ziffer –> also der 4 (von 441). Das heißt 4+6=10 und somit bekommen wir _ _ 1 0 4 1
  5. 2. Regel: Der letzte Schritt ist noch einmal etwas aufwendiger Multipliziere die ersten beiden Ziffern (3×2=6) und verdopple diese (6 x 2 = 12). Die Regel geht noch weiter, jedoch ist das formell eher grausam zu beschreiben, daher werde ich das einfach an dem Zahlenbeispiel demonstrieren:
32 x 32 -> 09   12    (Hier haben wir die beiden Ziffern quadriert, aber haben das Ergebnis 2 x 2 weggelassen!) Jetzt kommt der letzte Schritt dieser Regel: Wir addieren wieder die Zahlen zusammen nach folgender Anordnung _ _ 1 0 4 1 09  12   1 0 4 1 0 ( 9  1 )  ( 2  1 )  0 4 1 1     0           3       0 4 1  -> 103.041 Ich hoffe der letzte Schritt war verständlich. Wir nehmen einfach das bereits vorhandene Ergebnis (1041) und rechnen nun von der ersten Ziffer ( also der 1) die letzte Ziffer von (09 12, also die 2) das ergibt unsere _ _ 3. Nun müssen wir noch zur nachfolgenden Ziffer von 09  12 (also der 1) die 9 addieren, also rechnen wir 9 + 1 = 10. Somit können wir 0 anschreiben und 1 gemerkt. Also _0 3. Als letztes rechnen wir 0 + 1 = 1. Somit bekommen wir 1 0 3 Die Zahl setzten wir einfach an unser bereits vorhandenes Ergebnis dran.

Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Montag, 28 Juni 2010 05:37
Written by Admin_Kopfrechnen
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Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg. Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe: 24 x 24
  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen) _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576
Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen. 43 x 43
  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2 _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben 1 8 4 9
Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen. 62 x 62
  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an. 04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin 24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin 36   24   04
Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen 3(6  2) (4  0) 4 Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4 Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben 76 x 76 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84 7 x 7 = 49 4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6 Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Priyanshi Somani ist Weltmeisterin im Kopfrechnen

Donnerstag, 10 Juni 2010 05:20
Written by Admin_Kopfrechnen
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In Magdeburg fand die 4.Weltmeisterschaft im Kopfrechnen statt an der 33 Kopfrechner aus 13 verschiedenen Ländern antraten. Siegerin des Wettbewerbs ist die elfjährige Inderin Priyanshi Somani. In den Disziplinen Wurzelziehen, Addition und Multiplikation lag klar vor den anderen Teilnehmern. Aufgaben waren zum Beispiel zehn zehnstellige Zahlen zu multiplizierten: 31.921.952 mit 50.666.287 oder die Quadratwurzel aus 910.462 zu ziehen. Den Platz zwei und drei belegten zwei Spanier Marc Jornet Sanz und Alberto Coto. Auch die Deutschen belegten eine 2. Platzierung, im Kalenderrechnen. Dabei bekommt man ein Datum genannt und muss daraufhin den Wochentag vom z.B. 16.4.1964 ausrechnen (Ein Thema das ich auch noch hier im Block behandeln werde!) Wie kamen die Wettbewerber zur Teilnahme? Ein sehr interessantes Thema, da der Weg teils stark unterschiedlich ist. Nicht alle waren von Anfang gute Mathematiker oder schnell im Kopfrechen. Einige haben sogar erst sehr spät mit dem Kopfrechnen begonnen, so Robin Wersig. Er musste zum Beispiel das Gymnasium abbrechen, da er eine 5 im Leistungskurs Mathematik und eine 6 im Grundkurs Mathematik hatte, konnte aber im Fachabitur, dann seine Begeisterung für die Mathematik gewinnen, wo er mit einer 1 abschloss. Andere Teilnehmer haben ihr Talent bereits in der Schule entdeckt und zeichneten sich schon dadurch aus, dass sie schneller als ihre Kollegen rechnen konnten. Die Sieger dürfen an der Olympiade im Kopfrechnen in Antalya teilnehmen und bekommen noch dazu die Kosten dafür erstattet.

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