Author Archives: Admin_Kopfrechnen

Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen. Die Näherungsformel lautet: \(a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N – a_{n}^2}{2a_{n}^2}\) Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten. Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen. Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für \(\sqrt{51} \) N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

\(a_{n} \)    (hier also = 7)

\(a_{n} \) ist ein Näherungswert für das Ergebnis

\(a_{n+1} \)

\(a_{n+1} \) ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für \(a_{n+1} \) heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert \(a_{n+1} \) und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit \(a_{n+1} \). (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus) \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N – a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}\)

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus: \(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 7^2}{2\times7^2}\)

Dann können wir rechnen:

\(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 49}{2\times49}\)

\(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}\)

\(a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203\)

\(a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421 \)

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind. Das Ergebnis von \(\sqrt{51} = 7,1414284 \) Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig. Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes \(a_{n} \) zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel: Eine genauere Schätzung für \(a_{n} \) erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen. \(a_{n} = k/l \)  (hier \(a_{n} = 50/7\)  also k = 50 und l = 7 Die Formel lautet: \(a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N – k^2}{2k^2}\) Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 – 50^2}{2\times50^2}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 – 2500}{2\times2500}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}\)  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}\)

\(a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}\)

\(a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857\)

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt. Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden. 4999 / 7 = 7 4999 – 4900 = 99 –> 990 / 700 = 1 Rest 290 –>2900 / 700 = 4 Rest 100 –>1000/700 = 1 Rest 300 –>3000 /700= 4 Rest 200 …… Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)