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Trachtenberg System

Diese Beitragsreihe beschäftigt sich mit dem Trachtenberg System für das Kopfrechnen. In der englischen Literatur wird es auch Trachtenberg Speed System genannt. Trachtenberg war ein russischer Ingenieur und Gründer des Mathematischen Instituts in der Schweiz. Er arbeitete an einem System, welches das Kopfrechnen vereinfachen sollte. Dabei legte er sich die folgenden Regeln auf: Nur das kleine Einmaleins muss man kennen. Und selbst das nur bis zur Zahl 5. Ab Multiplikationen mit der Zahl 6 beginnen seine Regeln zu greifen. Das System umfasst die Multiplikation mit ein- und mehrstelligen Zahlen. Das Dividieren, das Addieren bzw. Subtrahieren und das Wurzel ziehen. Weiterlesen

Wurzel ziehen

Wir betrachten eine recht spezielle Rechenart für das Kopfrechnen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch entscheidend für die einfache Durchführbarkeit, beginnen wollen wir daher mit der Quadratwurzel: Weiterlesen

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Kopfrechentrick – Quadratwurzel im Kopf ziehen

Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen. Die Näherungsformel lautet: \(a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N – a_{n}^2}{2a_{n}^2}\) Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten. Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen. Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für \(\sqrt{51} \) N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

\(a_{n} \)    (hier also = 7)

\(a_{n} \) ist ein Näherungswert für das Ergebnis

\(a_{n+1} \)

\(a_{n+1} \) ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für \(a_{n+1} \) heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert \(a_{n+1} \) und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit \(a_{n+1} \). (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus) \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N – a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}\)

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus: \(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 7^2}{2\times7^2}\)

Dann können wir rechnen:

\(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 49}{2\times49}\)

\(a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}\)

\(a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203\)

\(a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421 \)

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind. Das Ergebnis von \(\sqrt{51} = 7,1414284 \) Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig. Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes \(a_{n} \) zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel: Eine genauere Schätzung für \(a_{n} \) erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen. \(a_{n} = k/l \)  (hier \(a_{n} = 50/7\)  also k = 50 und l = 7 Die Formel lautet: \(a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N – k^2}{2k^2}\) Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 – 50^2}{2\times50^2}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 – 2500}{2\times2500}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}\)  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}\)

\(a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}\)

\(a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}\)

\(a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857\)

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt. Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden. 4999 / 7 = 7 4999 – 4900 = 99 –> 990 / 700 = 1 Rest 290 –>2900 / 700 = 4 Rest 100 –>1000/700 = 1 Rest 300 –>3000 /700= 4 Rest 200 …… Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025. Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42. \(42^2 \) Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert. 1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil. 2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt). 3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760 4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier \(2^2 \), und zum Ergebnis dazu addieren. Also: 1760 + \(2^2 \). 1760 + 4 = 1764 Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54. Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58. Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900 Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + \(4^2 \) und erhalten somit 2900 + 16 = 2916 Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:
  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9
Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68. Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624. Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird. Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464 Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

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