Category Archives: Andere Funktionen (z.B. Sinus)

Kopfrechentrick – Quadratwurzel im Kopf ziehen

Mittwoch, 15 September 2010 17:52
Written by Admin_Kopfrechnen
1 Comment
Heute will ich wieder spezieller Rechenart angehen und zwar das Wurzelziehen. Beim Wurzelziehen gibt es einige Näherungsformeln, die mehr oder weniger gut für das Kopfrechnen geeignet sind. Natürlich ist der Grad der Wurzel auch ganz klar kriegsentscheidend. Beginnen wollen wir mit der Quadratwurzel. Im späten Verlauf des Blogs werde ich noch Wurzeln höhere Grade erläutern. Kopfrechnen mit der Quadratwurzel soll jedoch für den Anfang erst einmal genügen. Die Näherungsformel lautet: $latex a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{N – a_{n}^2}{2a_{n}^2}$ Nun wollen wir kurz klären, was die vielen Buchstaben in der Formel bedeuten. Wir wollen z.B. von 51 die Wurzel ziehen. Was wir als erstes machen müssen ist einen Näherungswert für die Wurzel 51 zu finden. Dies bedeutet wir suchen uns eine Quadratzahl, die in der Nähe liegt und von der wir das Ergebnis bereits kennen. Hier könnten wir die Zahl 49 nehmen, denn wir wissen 49 = 7². Somit wäre 7 schon einmal ein vernünftiger Näherungswert für $latex \sqrt{51} $ N := 51

N ist also die Zahl von der wir die Quadratwurzel ziehen wollen

$latex a_{n} $    (hier also = 7)

$latex a_{n} $ ist ein Näherungswert für das Ergebnis

$latex a_{n+1} $

$latex a_{n+1} $ ist offensichtlich das Ergebnis der ganzen Gleichung. Aber was hat das dann mit der Wurzel zu tun? Diese Formel wiederholt sich. Was ich damit meine ist folgendes: Wir kriegen ein Ergebnis für $latex a_{n+1} $ heraus und haben damit schon einmal eine erste Näherung für Wurzel 51 erhalten. Jetzt nehmen wir den Wert $latex a_{n+1} $ und rechnen die Formel erneut durch. Aber diesmal eben mit $latex a_{n+1} $. (So etwas nennt man auch einen iterativen Algorithmus) $latex a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1} \frac{N – a_{n+1}^2}{2a_{n+1}^2}$

Wenn wir 51 und 7 nehmen sieht die Gleichung also folgendermaßen aus: $latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 7^2}{2\times7^2}$

Dann können wir rechnen:

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{51 – 49}{2\times49}$

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times \frac{2}{98}$

$latex a_{n+1} = 7 + 7\times0.0203$

$latex a_{n+1} = 7 + 0,1421 = 7,1421 $

Das wäre erst einmal ein Durchgang. Man merkst sehr schnell das der zweite und die Weiteren Durchgänge schon nicht mehr wirklich schön zum rechnen sind. Das Ergebnis von $latex \sqrt{51} = 7,1414284 $ Damit liegen wir nach dem ersten Durchgang immerhin schon bei zwei Stellen nach dem Komma richtig. Eine Verbesserung für das Kopfrechnen wäre z.B. ein anderes $latex a_{n} $ zu nehmen. Hierfür gibt es folgende Regel: Eine genauere Schätzung für $latex a_{n} $ erhält man bei der Berechnung der Wurzel 51, wenn man von 49/7 (=7) und 51/7 den Durchschnitt als Startwert nimmt. Also hier 50/7. Nun könnte man das Ganze mit 50/7 = 7,13… im Kopf weiter rechnen. Dies ist jedoch wieder genauso unangenehm wie zuvor nach dem ersten Ergebnis. Es gibt jedoch eine weitere Formel, die es uns ermöglicht die 50/7 sinnvoll einzusetzen. $latex a_{n} = k/l $  (hier $latex a_{n} = 50/7$  also k = 50 und l = 7 Die Formel lautet: $latex a_{n+1} = a_{n} + a_{n} \frac{l^2N – k^2}{2k^2}$ Jetzt heißt es wieder Zahlen einsetzen und ausrechnen:

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} + \frac{50}{7}\times \frac{7^2\times51 – 50^2}{2\times50^2}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{49\times51 – 2500}{2\times2500}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{50}{7}\times \frac{-1}{5000}$  (49* 51 = (50 – 1) * (50 + 1) = 50² -1)

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{1}{7}\times \frac{-1}{100}$

$latex a_{n+1} = \frac{50}{7} +\frac{-1}{700}$

$latex a_{n+1} = \frac{5000}{700} +\frac{-1}{700}$

$latex a_{n+1} = \frac{4999}{700} = 7,14142857$

Dieses Ergebnis ist jetzt bis zur 6. Stelle nach dem Komma richtig, Danach beginnt die erste Abweichung. Die Zahlen im Kopf zu berechnen ist natürlich auch nicht das einfachste. Jedoch ist es mit etwas Übung möglich. Tricks dafür liefern vor allem meine Blogeinträge zu den Grundrechenarten. Was man sich jedoch bewusst sein muss ist, dass man bei spezielleren Funktionen(Sinus, Logarithmus, Wurzel) leider meistens nur mit Näherungsformeln nähern kann. Dabei heißt es einfach diese Näherungsformel so intelligent wie möglich klein halten, dass das Kopfrechnen noch möglich bleibt. Z.B. bei der letzten Berechnung von 4999 / 700 findet man relativ schnell die Dividenden. 4999 / 7 = 7 4999 – 4900 = 99 –> 990 / 700 = 1 Rest 290 –>2900 / 700 = 4 Rest 100 –>1000/700 = 1 Rest 300 –>3000 /700= 4 Rest 200 …… Das nächstemal werde ich noch Methoden vorstellen die ein Kopfrechnen für höhere Wurzeln ermöglichen. Desweiteren wird es noch einen Beitrag geben in dem die Trachtenbergmethode für das Wurzel ziehen erklärt wird (die auch etwas einfacher zu berechnen ist)

Sinus- Kopfrechentrick (Teil 2)

Dienstag, 25 Mai 2010 04:51
Written by Admin_Kopfrechnen
1 Comment
Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr hier findet. Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen: Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus: $latex 1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 – \frac{a \times d}{40}) $ Was hier stört ist eindeutig der Teil: $latex 1000 \times {\rm sin}(a)$ Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können. Wir erinnern uns: $latex {\rm sin}(x) = 0,99989 \times x – 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5 $ Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können $latex 1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 – \frac{d \times (d+1)}{120}) $ Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt) Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten $latex 1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 – \frac{29 \times (30)}{120}) $ Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870 $latex 1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – \frac{870)}{120}) $ Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25 $latex 1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – 7.25) $ $latex 1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15 $ Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735 $latex 1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735 $ $latex {\rm sin}(29) = 0.484735 $ In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809 Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick. Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf. $latex 1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{35 \times (36)}{120}) $ Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (siehe Kopfrechentrick Endziffer 5) $latex 1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{1260)}{120}) $ Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5 $latex 1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9 $ Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65 $latex 1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65 $ $latex {\rm sin}(35) = 0.57365 $ Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357 Der relative Fehler beläuft sich hier auf:  0,139% Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.

Login Form

Login Form