Dieser Artikel schließt direkt an den bereits vorhanden Kopfrechentrick an, den ihr
hier findet.
Wie ich bereits sagte, gibt es noch eine Möglichkeit den Sinus im Kopf zu berechnen, ohne sich fixe Werte merken zu müssen. Das erreichen wir folgendermaßen:
Wir gehen von unserer Gleichung aus Teil 1 aus:
\(1000 \times {\rm sin}(d) = 1000 \times {\rm sin}(a) + \frac{ b}{10} \times (174 – \frac{a \times d}{40}) \)
Was hier stört ist eindeutig der Teil: \(1000 \times {\rm sin}(a)\)
Das Vorgehen ist äquivalent. Wir wollen nun wieder eine saubere Näherung für die Sinuswerte haben, mit der wir auch kopfrechnen können.
Wir erinnern uns: \({\rm sin}(x) = 0,99989 \times x – 0,16595 \times x^3 + 0,00760 \times x^5 \)
Ausgehend von dieser Gleichung können wir wieder eine andere Näherungsformel herleiten, die wir für das Kopfrechnen verwenden können
\(1000 \times {\rm sin}(d) = \frac{d}{10} ( 174.4 – \frac{d \times (d+1)}{120}) \)
Jetzt müssen wir uns keinen Wert mehr für markante Werte der Sinusfunktion merken. Diese Gleichung ist ebenfalls nur
für den Bereich von 0° bis 54° anwendbar. Und diese Näherungsformel für das Kopfrechnen
ist ungenauer, als die in Teil 1 beschriebene Näherungsformel. (Und meiner Meinung nach ist es auch schwerer sie zu berechnen, auf Grund der Kommamultiplikationen, was jedoch ein subjektives Kriterium darstellt)
Dann wollen wir mal Beispiele verwenden. Berechnen wir zum Beispiel den Winkel von 29 Grad, dann bekommen wir folgende Gleichung mit eingesetzten Werten
\(1000 \times {\rm sin}(29) = \frac{29}{10} ( 174.4 – \frac{29 \times (30)}{120}) \)
Nebenrechnung 29 x 30 = 30 x 30 – 29 = 900 – 30 = 870
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – \frac{870)}{120}) \)
Nebenrechnung 870 : 120 = 7 + 30 : 120 = 7 + 0.25 = 7.25
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 ( 174.4 – 7.25) \)
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 2.9 \times 167.15 \)
Nebenrechnung: 2.9 x 167.15 = 3 x 167.15 – 16.715 = 300 + 180 + 21 + 0.45 – 16.715 = 501.45 – 16.715 = 501.45 – 20 + 3.285 = 481.45 + 3.285 = 484.735
\(1000 \times {\rm sin}(29) = 484.735 \)
\({\rm sin}(29) = 0.484735 \)
In den Taschenrechner sin (29) eingegeben ergibt: 0,484809
Das entspricht einem Fehler von etwa 0,0154%. Also nicht gerade groß. Daher eignet sich diese Methode doch als Kopfrechentrick.
Um das Kopfrechnen noch weiter zu üben wollen wir noch eine Aufgabe durchrechnen, damit sollte das Prinzip dann klar geworden sein. Berechnen wir den Winkel von 35 Grad im Kopf.
\(1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{35 \times (36)}{120}) \)
Nebenrechnung: 35 x 36 = 35 x 35 + 35 = 1225 – 35 = 1260 (
siehe Kopfrechentrick Endziffer 5)
\(1000 \times {\rm sin}(35) = \frac{35}{10} ( 174.4 – \frac{1260)}{120}) \)
Nebenrechnung: 1260 : 120 = 10 + 60/ 120 = 10 + 0.5 = 10.5
\(1000 \times {\rm sin}(35) = 3.5 \times 163.9 \)
Nebenrechnung: 3.5 x 163.9 = 3 x 163.9 + 163.9 : 2 = 300 + 180 + 9 + 2.7 + 163.9 : 2 = 491.7 + 50 + 30 + 1.5 + 0.45 = 491.7 + 81.95 = 571.7 + 1.95 = 572.7 + 0.95 = 573.65
\(1000 \times {\rm sin}(35) = 573.65 \)
\({\rm sin}(35) = 0.57365 \)
Mit dem Taschenrechner überprüft: sin (35) = 0.57357
Der relative Fehler beläuft sich hier auf: 0,139%
Ich hoffe ich habe die Lust am Kopfrechnen noch etwas weiter geweckt. Die nächsten male werden noch weiter Kopfrechentricks folgen, die eher außergewöhnliche Funktionen behandeln. Die cosinus Funktion wird auf alle Fälle noch folgen, aber auch Wurzeln und Logarithmen wollen wir noch durch Kopfrechnen lösen.
So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.
2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).
3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760
4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier \(2^2 \), und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + \(2^2 \). 1760 + 4 = 1764
Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.
Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + \(4^2 \) und erhalten somit 2900 + 16 = 2916
Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:
Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.
Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464
Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.