Die Multiplikation mit 12 ist ein weiteres Beispiel dafür, wie einfach Multiplikationen durch einen kleinen Kopfrechentrick durchgeführt werden können. Der Trick lehnt sich von der Ausführung her an die Multiplikation mit 11. Sollte es also Verständnisschwierigkeiten geben, sollte vielleicht dieser Artikel noch einmal kurz überflogen werden, damit es klarer wird.
So dann wollen wir starten. Als erstes eine einfache Multiplikation. 113 x 12
Die Regel im Trachtenbergsystem lautet folgendermaßen:
- Nimm die Zahl, beginnend von der letzten, mal zwei
- Und addiere den rechten Nachbarn zu diesem Zahlenwert
- Schreibe die Zahl an, bei einer Zahl größer 10 nimm den hinteren Teil und übertrage die 1 zur nächsten Rechnung
Die Regeln sehen beziehungsweise lesen sich wieder schwerer als das ganze Prinzip ist. Daher werden wir gleich wieder eine Rechnung gemeinsam durchführen und dann können wir uns selbst von der Einfachheit des Trachtenbergsystems überzeugen
Also nochmal: 113 x 12
- Schritt: Die erste Zahl die wir nehmen müssen, ist die 3. Diese sollen wir mal 2 nehmen. Also 6. Jetzt das ganze zum rechten Nachbarn addieren. Bei der letzten Zahl gibt es keinen. Das heißt 6 wird angeschrieben
_ _ _ 6
- Schritt: Jetzt die zweite Zahl. Die 1 in der Mitte, mal 2 genommen ergibt 2 plus den rechten Nachbarn, die 3, ergibt eine 5. Somit wird die 5 angeschrieben
_ _ 5 6
- Schritt: Jetzt kommt die dritte Zahl, wieder eine 1. Diese mal zwei genommen ergibt wiederum eine 2 plus den rechten Nachbarn, eine 1, ergibt also 3. Jetzt wird eine 3 angeschrieben
_ 3 5 6
- Schritt: Wichtig! Hier müssen wir wieder die Ausnahme (wie bei der Multiplikation mit 11) beachten. Man muss im Trachtenbergsystem an jede Zahl eine 0 an den Anfang anfügen, dass heißt im Klartext wir rechnen mit der Zahl 0113. Somit ergibt sich der 4. Schritt als folgende Rechnung: 0 mal 2 ergibt immer noch Null plus den rechten Nachbarn, die 1, ergibt somit 1.
1 3 5 6
Für alle Ungläubigen ein Griff zum Taschenrechner. Ja es stimmt 1356 ist das richtige Ergebnis. Somit sollten in Zukunft beim Kopfrechnen Multiplikationen mit der Zahl 12 kein Problem mehr für uns darstellen. Um diesen Kopfrechentrick zu festigen wollen wir noch ein paar Übungen durchführen.
Jetzt 432 x 12 –>
0432 x 12 (0 nicht vergessen)
- Schritt: Wir nehmen wieder die 2 und multiplizieren diese mit 2. Also 4. Es gibt keinen rechten Nachbarn. Also 4 an
_ _ _ 4
- Schritt: Wir nehmen die 3. Diese verdoppelt gibt die 6. Plus den rechten Nachbarn ergibt 8
_ _ 8 4
- Schritt: Wir nehmen nun die 4. Diese mal 2 ergibt eine 8. Plus den rechten Nachbarn ergibt eine 11. So jetzt haben wir den Fall mit Übertrag. Dies bedeutet wir schreiben die 1 an und der Übertrag ist 1. Den bitte beim 4. Schritt nicht vergessen!
_ 1 8 4
- Schritt: Jetzt haben wir die 0. Mal 2 ergibt wieder 0 plus den rechten Nachbarn, 4, ergibt eine 4 und jetzt noch plus den Übertrag 1, ergibt somit eine 5
5 1 8 4
Schon warm geworden? Na dann werden wir noch eine Aufgabe rechnen. Man bemerkt schnell den Nachteil dadurch, dass man die Zahl mal 2 nehmen muss. Es entstehen bei Zahlen die größer 4 sind zwangsläufig immer Überschläge. Daher will ich nur zu bedenken geben ob man beim Kopfrechnen bei einer geeigneten Zahl nicht auch zu der Methode wechselt, die ich bereits in einem anderen Post beschrieben hab. Dieser Kopfrechentrick beschäftigte sich damit, dass man die Multiplikation in zwei einfache Multiplikationen aufteilt und einfach eine Addition am Ende durchführt. Aber das sehen wir uns gleich nochmal bei der nächsten Zahl an.
Sehen wir uns einmal die Zahl 867 x 12 an. Rechnen wir sie einmal nach Trachtenberg
867 x 12 –>
0867 x 12
- Schritt: 7 mal 2 ergibt 14. 4 an 1 gemerkt
_ _ _ 4
- Schritt: 6 mal 2 ergibt 12. 12 + 7= 19. Übertrag nicht vergessen. 19 + 1 = 20. 0 an 2 gemerkt
_ _ 0 4
- Schritt: 8 mal 2 ergibt 16. 16 + 6 = 22. Übertrag nicht vergessen. 22 + 2 = 24. 4 an 2 gemerkt
_ 4 0 4
- Schritt: 0 mal 2 ergibt 0. 0 + 8 = 8. Übertrag nicht vergessen. 8 + 2 = 10. Also hier 10 an, da keine weitere Rechnung folgt
10 4 0 4
Hier waren schon viele Überträge dabei. Jetzt vergleichen wir die Methode mal mit der Zerlegung der Multiplikation:
867 x 12 = 867 x ( 10 + 2) = 8670 + 2 x 867 = 8670 + 2 x (870 – 3) = 8670 + 1740 – 6 =
9 670 + 740 – 6 = 10370 +40 – 6 = 10410 – 6 =
10404
Welche Methode einem besser gefällt muss jeder für sich entscheiden, beziehungsweise wird man das schnell beim Üben bemerken was einem besser liegt.
Möglich wäre natürlich auch noch dieser Weg der auch nicht zu verachten ist und meiner Meinung nach noch schneller funktioniert.
867 x 12 = (900 – 33) x 12 = 9000 + 1800 – 33 x 12 = 10800 – (330 + 66) = 10800 – 396 = 10800 – 400 + 4 = 10404
Wert sind sie es auf alle Fälle beide zum probieren. Genau das ist aber das Konzept des Kopfrechnens. Probieren, Probieren, Probieren. Nicht von einem Weg aus Bequemlichkeit überzeugen lassen, Probieren sie mehrere Wege beim Kopfrechne aus. Schauen sie ob sie Ergebnisse so hinbiegen können, dass sie simple Rechentricks verwenden können. Und sie werden merken, mit der Zeit wird man schneller und schneller. Schon alleine durch das viele austesten bekommt man die Übung. Und das allerwichtigste daran ist, dass sie ein
Gefühl für die Zahlen bekommen. Sie werden
sehen welcher Weg schneller ust. Kaum haben Sie die Rechnung gesehen, wird Ihnen ihre
Intuition sagen, was sie machen sollen. Das ist unser Ziel!!
So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert.
1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil.
2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt).
3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760
4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier \(2^2 \), und zum Ergebnis dazu addieren.
Also: 1760 + \(2^2 \). 1760 + 4 = 1764
Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54.
Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58.
Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900
Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + \(4^2 \) und erhalten somit 2900 + 16 = 2916
Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:
Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624.
Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird.
Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464
Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.