Tag Archives: Quadrieren

Kopfrechentrick – Quadrieren zweistelliger Zahlen

Montag, 30 August 2010 07:39
Written by Admin_Kopfrechnen
3 Comments
Ein einfacher Kopfrechentrick ist das Quadrieren zweistelliger Zahlen. Zuvor hatte ich schon das Quadrieren einer Zahl mit der Endziffer 5 erklärt. Dies war sehr einfach. Hier nochmal kurz zur Erinnerung. Bei der Zahl 45 musste man einfach rechnen 4*5 = 20 und hängt an die 20 noch die 25 dran und schon hat man das Ergebnis 2025. Beim Quadrieren beliebiger zweistelliger Zahlen ist der Trick leider nicht mehr ganz so einfach, jedoch immer noch schnell ausgerechnet. Ich erkläre den Rechenweg an der Zahl 42. $latex 42^2 $ Ich veranschauliche den Lösungsweg bildlich. Dadurch wird schnell ersichtlich worauf es bei der Berechnung ankommt So nun der Weg noch einmal schriftlich ausformuliert. 1. Schritt: Wir nehmen die zu quadrierende Zahl, hier die 42. Dann runden wir die Zahl auf den vollen Zehner ab. In diesem Fall auf 40. Dafür müssen wir -2 abziehen. Somit kommen wir auf die 40 beim unteren Pfeil. 2. Schritt: Wir nehmen noch einmal die 2 und addieren sie jetzt zu unserer Ausgangszahl, hier 42. Wir erhalten somit 44. Diese „schreiben wir darüber“ (im Idealfall findet dieser Prozess im Kopf statt). 3. Schritt: Wir multiplizieren die 44 mit der 40 und rechnen somit aus: 44 x 40 = 1600 + 160 = 1760 4. Schritt: Das Ergebnis stimmt noch nicht ganz. Die letzte Korrektur ist, dass wir die Zahl, mit der wir zuvor abgerundet haben, quadieren, also hier $latex 2^2 $, und zum Ergebnis dazu addieren. Also: 1760 + $latex 2^2 $. 1760 + 4 = 1764 Dann wollen wir noch einmal eine kurze Aufgabe zum festigen berechnen. Mit der 54. Hier wieder die gleiche Vorgehensweise. Wir betrachten diesmal 54. Jetzt runden wir die 54 wieder ab. Dafür müssen wir -4 rechnen. Somit erhalten wir einmal 50 und einmal 54 + 4= 58. Somit müssen wir rechnen: 58 x 50 = 2500 + 400= 2900 Der letzte Schritt ist, dass wir wieder die Zahl mit der wir abgerundet haben im Quadrat zu den 2900 addieren. Also rechnen wir: 2900 + $latex 4^2 $ und erhalten somit 2900 + 16 = 2916 Nun haben wir eigentlich drei Fälle und zwar können wir:
  1. Abrunden. Bei einer Endziffer von 1 – 4
  2. Den Trick mit der 5 Anwenden. Bei allen Quadraten mit der Endziffer 5
  3. Aufrunden: Bei einer Endziffer von 6 – 9
Den 3. Fall hatten wir noch nicht. Daher werde ich ihn noch einmal an einer Aufgabe erläutern. Das Prinzip verändert sich nicht. Nehmen wir als Beispiel die 68. Hier haben wir anstatt mit -8 abzurunden einfach auf die 70 aufgerundet mit +2. Der Weg bleibt immer noch der gleiche wie zuvor erklärt. 68 + 2 = 70 und 68 – 2 = 66. Die beiden Zahlen im Kopf multiplizieren. Somit erhalten wir 4620. Danach addieren wir noch 4 dazu und erhalten somit 4624. Zu guter Letzt noch ein Tipp: Beim Kopfrechnen von Quadraten ist es einfacher wenn die Zahlen in den höheren Bereichen bei etwa 90 liegen. Z.B. 92. Hier bietet es sich an immer aufzurunden. Weil wir dann auf 100 kommen und das multiplizieren besonders einfach wird. Somit müssten wir rechnen 100 x (92 – 8) + (8 x 8) = 100 x 84 + 64 = 8464 Dieser Trick geht natürlich mit beliebig vielen Ziffern. Nur wird es immer schwieriger sich die Zahlen im Kopf zu merken. Dafür empfehle ich Mnemotechniken, die auch hier in einem Beitrag erläutert werden sollen.

Trachtenbergsystem ( Kopfrechnen ) – Quadrieren von dreistelligen Zahlen

Sonntag, 11 Juli 2010 06:29
Written by Admin_Kopfrechnen
4 Comments
Die Methode geht im Großen und Ganzen wie die bereits beschriebene Methode im Trachtenbergsystem um zweistellige Ziffer zu quadrieren Wir quadrieren diesmal dreistellige Zahlen und zwar werden wir uns erst einmal 321 annehmen und größere Überträge zu vermeiden. Dann wollen wir anfangen:
  1. Die ersten Regeln sind die selben Regeln wie für das Quadrieren von zweistelligen Zahlen. Wir nehmen erst die 21 und tun so, als ob es die 3 nicht gibt! also rechnen wir: 1 x 1 = 1 also 1 an _ _ _ _ _ 1
  2. Danach müssen wir wieder 2 x 1 = 2 rechnen und das ganze verdoppeln: also 4 _ _ _ _ 4 1
  3. Jetzt rechnen wir 2 x 2 = 4 und schreiben die4 an _ _ _ 4 4 1
  4. 1. Regel: Jetzt kommt ein neuer Punkt Multipliziere die erste Ziffer mit der letzten und verdoppele das Ergebnis. Addieren die erhaltene Zahl, beginnend bei der 1. Ziffer Also rechnen wir 3 x 1 = 3 und verdoppeln das Ganze und erhalten 3 x 2 = 6 Jetzt addieren wir das ganze zur 1. Ziffer –> also der 4 (von 441). Das heißt 4+6=10 und somit bekommen wir _ _ 1 0 4 1
  5. 2. Regel: Der letzte Schritt ist noch einmal etwas aufwendiger Multipliziere die ersten beiden Ziffern (3×2=6) und verdopple diese (6 x 2 = 12). Die Regel geht noch weiter, jedoch ist das formell eher grausam zu beschreiben, daher werde ich das einfach an dem Zahlenbeispiel demonstrieren:
32 x 32 -> 09   12    (Hier haben wir die beiden Ziffern quadriert, aber haben das Ergebnis 2 x 2 weggelassen!) Jetzt kommt der letzte Schritt dieser Regel: Wir addieren wieder die Zahlen zusammen nach folgender Anordnung _ _ 1 0 4 1 09  12   1 0 4 1 0 ( 9  1 )  ( 2  1 )  0 4 1 1     0           3       0 4 1  -> 103.041 Ich hoffe der letzte Schritt war verständlich. Wir nehmen einfach das bereits vorhandene Ergebnis (1041) und rechnen nun von der ersten Ziffer ( also der 1) die letzte Ziffer von (09 12, also die 2) das ergibt unsere _ _ 3. Nun müssen wir noch zur nachfolgenden Ziffer von 09  12 (also der 1) die 9 addieren, also rechnen wir 9 + 1 = 10. Somit können wir 0 anschreiben und 1 gemerkt. Also _0 3. Als letztes rechnen wir 0 + 1 = 1. Somit bekommen wir 1 0 3 Die Zahl setzten wir einfach an unser bereits vorhandenes Ergebnis dran.

Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Montag, 28 Juni 2010 05:37
Written by Admin_Kopfrechnen
4 Comments
Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg. Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe: 24 x 24
  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen) _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576
Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen. 43 x 43
  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2 _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben 1 8 4 9
Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen. 62 x 62
  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an. 04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin 24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin 36   24   04
Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen 3(6  2) (4  0) 4 Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4 Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben 76 x 76 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84 7 x 7 = 49 4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6 Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Quadrieren mit der Endziffer 5

Mittwoch, 21 April 2010 06:49
Written by Admin_Kopfrechnen
1 Comment
Quadrieren mit Endziffer 5 Hier kommt ein weiterer Trick, der schnell erklärt ist. Es geht, wie die Überschrift schon verrät ums Quadrieren. Und zwar gibt es Quadrate, die sich blitzschnell berechnen lassen. Diese Enden alle mit der Ziffer 5. 15 x 15? 35 x 35? 85 x 85? Sind alles Multiplikationen, die wir in Zukunft ohne weiteres grübeln lösen können. Wie? Nun fangen wir an. Der Trick ist kurz und knapp erklärt. Am Beispiel 25 x 25: Nehmen sie die vordere Ziffer, hier 2 und erhöhen sie diese Zahl um 1, hier also 3. Nun multiplizieren sie die beiden Zahlen miteinander . Also, 2 x (2+1) = 2 x 3 = 6. Der letzte Schritt:  fügen sie ans Ende der soeben erhalten Zahl die 25 an. Also  6   25   –>   625 Das war alles? Jawohl! Mehr gibt es darüber nicht zu wissen. Nochmal ein Beispiel: 65 x 65. Wir nehmen die 6. Um 1 erhöht ergibt 7. Nun die beiden Zahlen miteinander multiplizieren. 6 x 7 = 42. Am Ende hängen wir noch die 25 dran –>   4225 Das war auch schon alles. Es ist doch immer wieder faszinierend auf welche einfachen Zusammenhänge man oft nicht kommt. Wie man sich zuvor abgeplagt hat um so etwas zu rechnen. Doch die Zeiten sind jetzt hoffentlich vorbei. Ich denke das haben sie mittlerweile auch eingesehen. Viel Spaß bis zum nächsten Mal. Dann werden wir noch den letzten Trick behandeln, bevor wir uns endgültig der Multiplikation widmen können. 

Login Form

Login Form