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Trachtenbergsystem ( Kopfrechnen ) – Quadrieren von dreistelligen Zahlen

Sonntag, 11 Juli 2010 06:29
Written by Admin_Kopfrechnen
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Die Methode geht im Großen und Ganzen wie die bereits beschriebene Methode im Trachtenbergsystem um zweistellige Ziffer zu quadrieren Wir quadrieren diesmal dreistellige Zahlen und zwar werden wir uns erst einmal 321 annehmen und größere Überträge zu vermeiden. Dann wollen wir anfangen:
  1. Die ersten Regeln sind die selben Regeln wie für das Quadrieren von zweistelligen Zahlen. Wir nehmen erst die 21 und tun so, als ob es die 3 nicht gibt! also rechnen wir: 1 x 1 = 1 also 1 an _ _ _ _ _ 1
  2. Danach müssen wir wieder 2 x 1 = 2 rechnen und das ganze verdoppeln: also 4 _ _ _ _ 4 1
  3. Jetzt rechnen wir 2 x 2 = 4 und schreiben die4 an _ _ _ 4 4 1
  4. 1. Regel: Jetzt kommt ein neuer Punkt Multipliziere die erste Ziffer mit der letzten und verdoppele das Ergebnis. Addieren die erhaltene Zahl, beginnend bei der 1. Ziffer Also rechnen wir 3 x 1 = 3 und verdoppeln das Ganze und erhalten 3 x 2 = 6 Jetzt addieren wir das ganze zur 1. Ziffer –> also der 4 (von 441). Das heißt 4+6=10 und somit bekommen wir _ _ 1 0 4 1
  5. 2. Regel: Der letzte Schritt ist noch einmal etwas aufwendiger Multipliziere die ersten beiden Ziffern (3×2=6) und verdopple diese (6 x 2 = 12). Die Regel geht noch weiter, jedoch ist das formell eher grausam zu beschreiben, daher werde ich das einfach an dem Zahlenbeispiel demonstrieren:
32 x 32 -> 09   12    (Hier haben wir die beiden Ziffern quadriert, aber haben das Ergebnis 2 x 2 weggelassen!) Jetzt kommt der letzte Schritt dieser Regel: Wir addieren wieder die Zahlen zusammen nach folgender Anordnung _ _ 1 0 4 1 09  12   1 0 4 1 0 ( 9  1 )  ( 2  1 )  0 4 1 1     0           3       0 4 1  -> 103.041 Ich hoffe der letzte Schritt war verständlich. Wir nehmen einfach das bereits vorhandene Ergebnis (1041) und rechnen nun von der ersten Ziffer ( also der 1) die letzte Ziffer von (09 12, also die 2) das ergibt unsere _ _ 3. Nun müssen wir noch zur nachfolgenden Ziffer von 09  12 (also der 1) die 9 addieren, also rechnen wir 9 + 1 = 10. Somit können wir 0 anschreiben und 1 gemerkt. Also _0 3. Als letztes rechnen wir 0 + 1 = 1. Somit bekommen wir 1 0 3 Die Zahl setzten wir einfach an unser bereits vorhandenes Ergebnis dran.

Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Montag, 28 Juni 2010 05:37
Written by Admin_Kopfrechnen
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Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg. Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe: 24 x 24
  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen) _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576
Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen. 43 x 43
  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2 _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben 1 8 4 9
Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen. 62 x 62
  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an. 04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin 24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin 36   24   04
Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen 3(6  2) (4  0) 4 Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4 Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben 76 x 76 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84 7 x 7 = 49 4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6 Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Trachtenbergsystem – Kopfrechentrick Multiplikation mit 6

Donnerstag, 20 Mai 2010 05:39
Written by Admin_Kopfrechnen
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Heute kommt noch einmal ein Kopfrechentrick von Trachtenberg dran. Und zwar das Multiplizieren mit der Ziffer 6. Das Schema ist wieder identisch zu den anderen Beiträgen. Gegeben ist die Zahl 62202. Die wollen wir nur mit 6 multiplizieren. Dazu müssen wir wie bereits in den Artikeln Multiplizieren mit 11 und mit 12 die 0 an den vorderen Teil der Zahl anfügen, also 062202. Das Trachtenbergsystem gibt wieder eine eindeutige Regel vor, die nun bei jedem Schritt gleich ist. Diese lautet: „Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn“ Rechnen wir die Aufgabe einmal durch, dann sehen wir gleich was gemeint ist.
  1. Schritt: Wir nehmen die 2. Diese hat keinen Nachbarn: also wird sie einfach wieder angeschrieben
062202 x 6 = _ _ _ _ _ 2
  1. Schritt: Jetzt nehmen wir die 0 und addieren zu dieser Zahl die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Also die Hälfte von 2 ist 1. Die Rechnung lautet also 0 + 1 = 1 Also 1 an 062202 x 6 = _ _ _ _ 1 2
  2. Schritt: Jetzt nehmen wir die 2. Der rechte Nachbar ist die 0. Die Hälfte von 0 ist 0. Also wird die 2 angeschrieben. 062202 x 6 = _ _ _ 2 1 2
  3. Schritt: Jetzt kommt wieder die 2. Der rechte Nachbar ist diesmal auch eine 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Also lautet die Rechnung 2 + 1 = 3. Diesmal müssen wir 3 anschreiben 062202 x 6 = _ _ 3 2 1 2
  4. Schritt: Fast geschafft. Jetzt ist die 6 an der Reihe. Der Nachbar von 6 ist die 2. Also addieren wir wieder die 1 zur 6. 6 + 1 = 7. Somit müssen wir die 7 anschreiben 062202 x 6 = _ 7 3 2 1 2
  5. Schritt: Der letzte Schritt kommt wieder daher, dass wir die 0 an den Anfang der Zahl schreiben mussten. Dies also nicht vergessen. Sonst ist das Ergebnis nicht richtig. Jetzt nehmen wir die 0 und addieren die Hälfte des rechten Nachbarn hinzu, also die Hälfte von 6. Das ist 3. Somit lautet die Rechnung:  0 + 3 = 3. 3 wird angeschrieben 062202 x 6 = 3 7 3 2 1 2
373212 ist das Ergebnis von 62202 x 6. Sehr schön, die Methode war doch relativ einfach. Der aufmerksame Leser wird sich am Anfang jedoch gleich gefragt haben, was passiert denn, wenn wir eine ungerade Zahl haben. Dann gibt es ja keine ganzzahlige Hälfte. Daher müssen wir unsere Regel noch einmal erweitern. „Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wenn die Zahl ungerade ist addiere noch +5 dazu. Die Hälfte der ungeraden Zahl auf die kleinere Zahl abgerundet“ Dann wollen wir noch einmal eine Rechnung ausführen um die Anwendung dieser Regelerweiterung zu veranschaulichen. Nehmen wir 5321 x 6. Der erste Schritt besteht wieder darin die 0 an den Anfang zu schreiben. 05321 x 6
  1. Schritt: Die 1 wird genommen. Es gibt keinen rechten Nachbarn, also wird nichts dazu addiert. ABER: Die Zahl ist ungerade. Das heißt wir müssen + 5 dazu rechnen. Die Regel lautet ja addiere bei ungeraden Zahlen + 5 dazu. Also müssen wir hier 1 + 5 = 6 anschreiben 05321 x 6 = _ _ _ _ 6
  2. Schritt: Jetzt kommt die 2 dran. Der Nachbar ist die 1. Die Hälfte von 1 ist ja 0,5. Die Regel lautet: abrunden! Dass heißt wir addieren die 0 zur 2. Da die Zahl gerade ist, müssen wir nichts weiter addieren. Also 2 + 0 = 2 an. 05321 x 6 = _ _ _ 2 6
  3. Schritt: Die 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt wir müssen 5 dazu addieren. Der rechte Nachbar ist die 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Somit lautet die Rechnung 3 + 5 + 1 = 9. 9 an. 05321 x 6 = _ _ 9 2 6
  4. Schritt: Jetzt kommt die 5. 5 ist ungerade also + 5. Der Nachbar ist die 3. Die Hälfte von 3 ist 1,5. Es wird abgerundet, also nehmen wir die 1. Die Rechnung lautet 5 +5 + 1= 11. Jetzt haben wir einen Übertrag. Also 1 an und 1 gemerkt 05321 x 6 = _ 1 9 2 6
  5. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 dran. 0 ist gerade (ja ich weiß viel werden sagen die null ist weder gerade noch ungerade. Die Mathematische Definition von Gerade lautet aber: alle Zahlen die durch 2 teilbar sind. Und 0 ist eindeutig durch 2 teilbar.) Also 0 ist gerade. Wir müssen nichts dazu addieren, bis auf den rechten Nachbarn, dieser lautet 5. Die Hälfte von 5 ist 2,5. 2,5 abgerundet ergibt 2. Und jetzt den Übertrag nicht vergessen. Den wir noch von der letzten Rechnung hatten: Also 0 + 2 + 1 = 3 05321 x 6 = 3 1 9 2 6
Das Ergebnis lautet somit 31926 und stimmt. Mit diesem Kopfrechentrick können wir schon mit 11, 12 und 6 gut Kopfrechnen. Das Trachtenbergsystem wird natürlich weiter geführt. Bis dahin wünsche ich viel Spaß beim anwenden!

Trachtenberg – Multiplikation mit 12

Montag, 10 Mai 2010 08:42
Written by Admin_Kopfrechnen
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Die Multiplikation mit 12 ist ein weiteres Beispiel dafür, wie einfach Multiplikationen durch einen kleinen Kopfrechentrick durchgeführt werden können. Der Trick lehnt sich von der Ausführung her an die Multiplikation mit 11. Sollte es also Verständnisschwierigkeiten geben, sollte vielleicht dieser Artikel noch einmal kurz überflogen werden, damit es klarer wird. So dann wollen wir starten. Als erstes eine einfache Multiplikation. 113 x 12 Die Regel im Trachtenbergsystem lautet folgendermaßen:
  1. Nimm die Zahl, beginnend von der letzten, mal zwei
  2. Und addiere den rechten Nachbarn zu diesem Zahlenwert
  3. Schreibe die Zahl an, bei einer Zahl größer 10 nimm den hinteren Teil und übertrage die 1 zur nächsten Rechnung
Die Regeln sehen beziehungsweise lesen sich wieder schwerer als das ganze Prinzip ist. Daher werden wir gleich wieder eine Rechnung gemeinsam durchführen und dann können wir uns selbst von der Einfachheit des Trachtenbergsystems überzeugen Also nochmal: 113 x 12
  1. Schritt:                 Die erste Zahl die wir nehmen müssen, ist die 3. Diese sollen wir mal 2 nehmen. Also 6. Jetzt das ganze zum rechten Nachbarn addieren. Bei der letzten Zahl gibt es keinen. Das heißt 6 wird angeschrieben _ _ _ 6
  2. Schritt:  Jetzt die zweite Zahl. Die 1 in der Mitte, mal 2 genommen ergibt 2 plus den rechten Nachbarn, die 3, ergibt eine 5. Somit wird die 5 angeschrieben _ _ 5 6
  3. Schritt: Jetzt kommt die dritte Zahl, wieder eine 1. Diese mal zwei genommen ergibt wiederum eine 2 plus den rechten Nachbarn, eine 1, ergibt also 3. Jetzt wird eine 3 angeschrieben _ 3 5 6
  4. Schritt: Wichtig! Hier müssen wir wieder die Ausnahme (wie bei der Multiplikation mit 11) beachten. Man muss im Trachtenbergsystem an jede Zahl eine 0 an den Anfang anfügen, dass heißt im Klartext wir rechnen mit der Zahl 0113. Somit ergibt sich der 4. Schritt als folgende Rechnung: 0 mal 2 ergibt immer noch Null plus den rechten Nachbarn, die 1, ergibt somit 1. 1 3 5 6
Für alle Ungläubigen ein Griff zum Taschenrechner. Ja es stimmt 1356 ist das richtige Ergebnis. Somit sollten in Zukunft beim Kopfrechnen Multiplikationen mit der Zahl 12 kein Problem mehr für uns darstellen.  Um diesen Kopfrechentrick zu festigen wollen wir noch ein paar Übungen durchführen. Jetzt 432 x 12  –>  0432 x 12 (0 nicht vergessen)
  1. Schritt: Wir nehmen wieder die 2 und multiplizieren diese mit 2. Also 4. Es gibt keinen rechten Nachbarn. Also 4 an _ _ _ 4
  2. Schritt: Wir nehmen die 3. Diese verdoppelt gibt die 6. Plus den rechten Nachbarn ergibt 8 _ _ 8 4
  3. Schritt: Wir nehmen nun die 4. Diese mal 2 ergibt eine 8. Plus den rechten Nachbarn ergibt eine 11. So jetzt haben wir den Fall mit Übertrag. Dies bedeutet wir schreiben die 1 an und der Übertrag ist 1. Den bitte beim 4. Schritt nicht vergessen! _ 1 8 4
  4. Schritt: Jetzt haben wir die 0. Mal 2 ergibt wieder 0 plus den rechten Nachbarn, 4, ergibt eine 4 und jetzt noch plus den Übertrag 1, ergibt somit eine 5 5 1 8 4
Schon warm geworden? Na dann werden wir noch eine Aufgabe rechnen. Man bemerkt schnell den Nachteil dadurch, dass man die Zahl mal 2 nehmen muss. Es entstehen bei Zahlen die größer 4 sind zwangsläufig immer Überschläge. Daher will ich nur zu bedenken geben ob man beim Kopfrechnen bei einer geeigneten Zahl nicht auch zu der Methode wechselt, die ich bereits in einem anderen Post beschrieben hab. Dieser Kopfrechentrick beschäftigte sich damit, dass man die Multiplikation in zwei einfache Multiplikationen aufteilt und einfach eine Addition am Ende durchführt. Aber das sehen wir uns gleich nochmal bei der nächsten Zahl an. Sehen wir uns einmal die Zahl 867 x 12 an. Rechnen wir sie einmal nach Trachtenberg 867 x 12  –>  0867 x 12
  1. Schritt: 7 mal 2 ergibt 14. 4 an 1 gemerkt _ _ _ 4
  2. Schritt: 6 mal 2 ergibt 12. 12 + 7= 19. Übertrag nicht vergessen. 19 + 1 = 20. 0 an 2 gemerkt _ _ 0 4
  3. Schritt: 8 mal 2 ergibt 16. 16 + 6 = 22. Übertrag nicht vergessen. 22 + 2 = 24. 4 an 2 gemerkt _ 4 0 4
  4. Schritt: 0 mal 2 ergibt 0. 0 + 8 = 8. Übertrag nicht vergessen. 8 + 2 = 10. Also hier 10 an, da keine weitere Rechnung folgt 10 4 0 4
Hier waren schon viele Überträge dabei. Jetzt vergleichen wir die Methode mal mit der Zerlegung der Multiplikation: 867 x 12 = 867 x ( 10 + 2) = 8670 + 2 x 867 = 8670 + 2 x (870 – 3) = 8670 + 1740 – 6 = 9 670 + 740 – 6 = 10370 +40 – 6 = 10410 – 6 = 10404 Welche Methode einem besser gefällt muss jeder für sich entscheiden, beziehungsweise wird man das schnell beim Üben bemerken was einem besser liegt. Möglich wäre natürlich auch noch dieser Weg der auch nicht zu verachten ist und meiner Meinung nach noch schneller funktioniert. 867 x 12 = (900 – 33) x 12 = 9000 + 1800 – 33 x 12 = 10800 – (330 + 66) = 10800 – 396 = 10800 – 400 + 4 = 10404 Wert sind sie es auf alle Fälle beide zum probieren. Genau das ist aber das Konzept des Kopfrechnens. Probieren, Probieren, Probieren. Nicht von einem Weg aus Bequemlichkeit überzeugen lassen, Probieren sie mehrere Wege beim Kopfrechne aus. Schauen sie ob sie Ergebnisse so hinbiegen können, dass sie simple Rechentricks verwenden können. Und sie werden merken, mit der Zeit wird man schneller und schneller. Schon alleine durch das viele austesten bekommt man die Übung. Und das allerwichtigste daran ist, dass sie ein Gefühl für die Zahlen bekommen. Sie werden sehen welcher Weg schneller ust. Kaum haben Sie die Rechnung gesehen, wird Ihnen ihre Intuition sagen, was sie machen sollen. Das ist unser Ziel!!

Trachtenberg – Multiplizieren mit 11

Mittwoch, 28 April 2010 04:59
Written by Admin_Kopfrechnen
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Das Multiplizieren mit 11 habe ich ja bereits erläutert. Hier noch einmal die die Vorgehensweise, damit die Regel einen eigenen Post bekommt. 1253 x 11 =
  1. Schritt:
Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben _ _ _ _ 3
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8 Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an. _ _ _ 5 3
  1. Schritt: Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7 Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an. _ _ 7 5 3
  2. Schritt: Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3 _ 3 7 5 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253 Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1 Somit 0 + 1 = 1 1 3 7 5 3
Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss. Gleich noch eine Aufgabe zum Üben: 45762 x 11 = 045762 x 11
  1. Schritt:
Man nimmt die 2. Diese hat keinen rechten Nachbarn also wird sie wieder einfach hingeschrieben – – – – – 2
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 6. Diese hat die 2 als rechten Nachbarn. Das heißt: 6 + 2 = 8 Die 8 wird angeschrieben – – – – 8 2
  1. Schritt:
Jetzt wird die 7 genommen. Rechter Nachbar ist die 6. Das heißt: 6 + 7 = 13 3 wird angeschrieben. Die 1 ist ein übertrag und muss zur nächsten Stelle mitgenommen werden. – – – 3 8 2
  1. Schritt: Jetzt wird die 5 genommen. Der rechte Nachbar ist die 7. 7 + 5 = 12. Vorsicht nicht den Übertrag von vorher vergessen!! 12 + 1 = 13. Also wird die 3 angeschrieben und wieder ein Übertrag von 1 – – 3 3 8 2
  2. Schritt: Jetzt wird die 4 genommen. Rechter Nachbar ist die 5. Somit können wir rechnen: 5 + 4 + 1 = 10 Also wird die 0 hingeschrieben, die 1 wird mitgenommen – 0 3 3 8 2
  3. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 (die immer angefügt werden muss). Der rechte Nachbar ist die 4. Also 4 + 0 + 1 = 5 (Übertrag nicht vergessen)
5 0 3 3 8 2 Die letzte Aufgabe zum Üben in der Kurzform 3562 x 11 = 03562 x 11 = (0+3)(3+5)(5+6)(6+2)2 = 39182 Das nächste Mal werden wir uns beim Trachtenbergsystem mit der Multiplikation mit 12 beschäftigen.

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