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Trachtenbergsystem ( Kopfrechnen ) – Quadrieren von dreistelligen Zahlen

Sonntag, 11 Juli 2010 06:29
Written by Admin_Kopfrechnen
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Die Methode geht im Großen und Ganzen wie die bereits beschriebene Methode im Trachtenbergsystem um zweistellige Ziffer zu quadrieren Wir quadrieren diesmal dreistellige Zahlen und zwar werden wir uns erst einmal 321 annehmen und größere Überträge zu vermeiden. Dann wollen wir anfangen:
  1. Die ersten Regeln sind die selben Regeln wie für das Quadrieren von zweistelligen Zahlen. Wir nehmen erst die 21 und tun so, als ob es die 3 nicht gibt! also rechnen wir: 1 x 1 = 1 also 1 an _ _ _ _ _ 1
  2. Danach müssen wir wieder 2 x 1 = 2 rechnen und das ganze verdoppeln: also 4 _ _ _ _ 4 1
  3. Jetzt rechnen wir 2 x 2 = 4 und schreiben die4 an _ _ _ 4 4 1
  4. 1. Regel: Jetzt kommt ein neuer Punkt Multipliziere die erste Ziffer mit der letzten und verdoppele das Ergebnis. Addieren die erhaltene Zahl, beginnend bei der 1. Ziffer Also rechnen wir 3 x 1 = 3 und verdoppeln das Ganze und erhalten 3 x 2 = 6 Jetzt addieren wir das ganze zur 1. Ziffer –> also der 4 (von 441). Das heißt 4+6=10 und somit bekommen wir _ _ 1 0 4 1
  5. 2. Regel: Der letzte Schritt ist noch einmal etwas aufwendiger Multipliziere die ersten beiden Ziffern (3×2=6) und verdopple diese (6 x 2 = 12). Die Regel geht noch weiter, jedoch ist das formell eher grausam zu beschreiben, daher werde ich das einfach an dem Zahlenbeispiel demonstrieren:
32 x 32 -> 09   12    (Hier haben wir die beiden Ziffern quadriert, aber haben das Ergebnis 2 x 2 weggelassen!) Jetzt kommt der letzte Schritt dieser Regel: Wir addieren wieder die Zahlen zusammen nach folgender Anordnung _ _ 1 0 4 1 09  12   1 0 4 1 0 ( 9  1 )  ( 2  1 )  0 4 1 1     0           3       0 4 1  -> 103.041 Ich hoffe der letzte Schritt war verständlich. Wir nehmen einfach das bereits vorhandene Ergebnis (1041) und rechnen nun von der ersten Ziffer ( also der 1) die letzte Ziffer von (09 12, also die 2) das ergibt unsere _ _ 3. Nun müssen wir noch zur nachfolgenden Ziffer von 09  12 (also der 1) die 9 addieren, also rechnen wir 9 + 1 = 10. Somit können wir 0 anschreiben und 1 gemerkt. Also _0 3. Als letztes rechnen wir 0 + 1 = 1. Somit bekommen wir 1 0 3 Die Zahl setzten wir einfach an unser bereits vorhandenes Ergebnis dran.

Trachtenberg – Multiplikation mit 12

Montag, 10 Mai 2010 08:42
Written by Admin_Kopfrechnen
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Die Multiplikation mit 12 ist ein weiteres Beispiel dafür, wie einfach Multiplikationen durch einen kleinen Kopfrechentrick durchgeführt werden können. Der Trick lehnt sich von der Ausführung her an die Multiplikation mit 11. Sollte es also Verständnisschwierigkeiten geben, sollte vielleicht dieser Artikel noch einmal kurz überflogen werden, damit es klarer wird. So dann wollen wir starten. Als erstes eine einfache Multiplikation. 113 x 12 Die Regel im Trachtenbergsystem lautet folgendermaßen:
  1. Nimm die Zahl, beginnend von der letzten, mal zwei
  2. Und addiere den rechten Nachbarn zu diesem Zahlenwert
  3. Schreibe die Zahl an, bei einer Zahl größer 10 nimm den hinteren Teil und übertrage die 1 zur nächsten Rechnung
Die Regeln sehen beziehungsweise lesen sich wieder schwerer als das ganze Prinzip ist. Daher werden wir gleich wieder eine Rechnung gemeinsam durchführen und dann können wir uns selbst von der Einfachheit des Trachtenbergsystems überzeugen Also nochmal: 113 x 12
  1. Schritt:                 Die erste Zahl die wir nehmen müssen, ist die 3. Diese sollen wir mal 2 nehmen. Also 6. Jetzt das ganze zum rechten Nachbarn addieren. Bei der letzten Zahl gibt es keinen. Das heißt 6 wird angeschrieben _ _ _ 6
  2. Schritt:  Jetzt die zweite Zahl. Die 1 in der Mitte, mal 2 genommen ergibt 2 plus den rechten Nachbarn, die 3, ergibt eine 5. Somit wird die 5 angeschrieben _ _ 5 6
  3. Schritt: Jetzt kommt die dritte Zahl, wieder eine 1. Diese mal zwei genommen ergibt wiederum eine 2 plus den rechten Nachbarn, eine 1, ergibt also 3. Jetzt wird eine 3 angeschrieben _ 3 5 6
  4. Schritt: Wichtig! Hier müssen wir wieder die Ausnahme (wie bei der Multiplikation mit 11) beachten. Man muss im Trachtenbergsystem an jede Zahl eine 0 an den Anfang anfügen, dass heißt im Klartext wir rechnen mit der Zahl 0113. Somit ergibt sich der 4. Schritt als folgende Rechnung: 0 mal 2 ergibt immer noch Null plus den rechten Nachbarn, die 1, ergibt somit 1. 1 3 5 6
Für alle Ungläubigen ein Griff zum Taschenrechner. Ja es stimmt 1356 ist das richtige Ergebnis. Somit sollten in Zukunft beim Kopfrechnen Multiplikationen mit der Zahl 12 kein Problem mehr für uns darstellen.  Um diesen Kopfrechentrick zu festigen wollen wir noch ein paar Übungen durchführen. Jetzt 432 x 12  –>  0432 x 12 (0 nicht vergessen)
  1. Schritt: Wir nehmen wieder die 2 und multiplizieren diese mit 2. Also 4. Es gibt keinen rechten Nachbarn. Also 4 an _ _ _ 4
  2. Schritt: Wir nehmen die 3. Diese verdoppelt gibt die 6. Plus den rechten Nachbarn ergibt 8 _ _ 8 4
  3. Schritt: Wir nehmen nun die 4. Diese mal 2 ergibt eine 8. Plus den rechten Nachbarn ergibt eine 11. So jetzt haben wir den Fall mit Übertrag. Dies bedeutet wir schreiben die 1 an und der Übertrag ist 1. Den bitte beim 4. Schritt nicht vergessen! _ 1 8 4
  4. Schritt: Jetzt haben wir die 0. Mal 2 ergibt wieder 0 plus den rechten Nachbarn, 4, ergibt eine 4 und jetzt noch plus den Übertrag 1, ergibt somit eine 5 5 1 8 4
Schon warm geworden? Na dann werden wir noch eine Aufgabe rechnen. Man bemerkt schnell den Nachteil dadurch, dass man die Zahl mal 2 nehmen muss. Es entstehen bei Zahlen die größer 4 sind zwangsläufig immer Überschläge. Daher will ich nur zu bedenken geben ob man beim Kopfrechnen bei einer geeigneten Zahl nicht auch zu der Methode wechselt, die ich bereits in einem anderen Post beschrieben hab. Dieser Kopfrechentrick beschäftigte sich damit, dass man die Multiplikation in zwei einfache Multiplikationen aufteilt und einfach eine Addition am Ende durchführt. Aber das sehen wir uns gleich nochmal bei der nächsten Zahl an. Sehen wir uns einmal die Zahl 867 x 12 an. Rechnen wir sie einmal nach Trachtenberg 867 x 12  –>  0867 x 12
  1. Schritt: 7 mal 2 ergibt 14. 4 an 1 gemerkt _ _ _ 4
  2. Schritt: 6 mal 2 ergibt 12. 12 + 7= 19. Übertrag nicht vergessen. 19 + 1 = 20. 0 an 2 gemerkt _ _ 0 4
  3. Schritt: 8 mal 2 ergibt 16. 16 + 6 = 22. Übertrag nicht vergessen. 22 + 2 = 24. 4 an 2 gemerkt _ 4 0 4
  4. Schritt: 0 mal 2 ergibt 0. 0 + 8 = 8. Übertrag nicht vergessen. 8 + 2 = 10. Also hier 10 an, da keine weitere Rechnung folgt 10 4 0 4
Hier waren schon viele Überträge dabei. Jetzt vergleichen wir die Methode mal mit der Zerlegung der Multiplikation: 867 x 12 = 867 x ( 10 + 2) = 8670 + 2 x 867 = 8670 + 2 x (870 – 3) = 8670 + 1740 – 6 = 9 670 + 740 – 6 = 10370 +40 – 6 = 10410 – 6 = 10404 Welche Methode einem besser gefällt muss jeder für sich entscheiden, beziehungsweise wird man das schnell beim Üben bemerken was einem besser liegt. Möglich wäre natürlich auch noch dieser Weg der auch nicht zu verachten ist und meiner Meinung nach noch schneller funktioniert. 867 x 12 = (900 – 33) x 12 = 9000 + 1800 – 33 x 12 = 10800 – (330 + 66) = 10800 – 396 = 10800 – 400 + 4 = 10404 Wert sind sie es auf alle Fälle beide zum probieren. Genau das ist aber das Konzept des Kopfrechnens. Probieren, Probieren, Probieren. Nicht von einem Weg aus Bequemlichkeit überzeugen lassen, Probieren sie mehrere Wege beim Kopfrechne aus. Schauen sie ob sie Ergebnisse so hinbiegen können, dass sie simple Rechentricks verwenden können. Und sie werden merken, mit der Zeit wird man schneller und schneller. Schon alleine durch das viele austesten bekommt man die Übung. Und das allerwichtigste daran ist, dass sie ein Gefühl für die Zahlen bekommen. Sie werden sehen welcher Weg schneller ust. Kaum haben Sie die Rechnung gesehen, wird Ihnen ihre Intuition sagen, was sie machen sollen. Das ist unser Ziel!!

Trachtenberg – Multiplizieren mit 11

Mittwoch, 28 April 2010 04:59
Written by Admin_Kopfrechnen
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Das Multiplizieren mit 11 habe ich ja bereits erläutert. Hier noch einmal die die Vorgehensweise, damit die Regel einen eigenen Post bekommt. 1253 x 11 =
  1. Schritt:
Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben _ _ _ _ 3
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8 Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an. _ _ _ 5 3
  1. Schritt: Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7 Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an. _ _ 7 5 3
  2. Schritt: Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3 _ 3 7 5 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253 Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1 Somit 0 + 1 = 1 1 3 7 5 3
Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss. Gleich noch eine Aufgabe zum Üben: 45762 x 11 = 045762 x 11
  1. Schritt:
Man nimmt die 2. Diese hat keinen rechten Nachbarn also wird sie wieder einfach hingeschrieben – – – – – 2
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 6. Diese hat die 2 als rechten Nachbarn. Das heißt: 6 + 2 = 8 Die 8 wird angeschrieben – – – – 8 2
  1. Schritt:
Jetzt wird die 7 genommen. Rechter Nachbar ist die 6. Das heißt: 6 + 7 = 13 3 wird angeschrieben. Die 1 ist ein übertrag und muss zur nächsten Stelle mitgenommen werden. – – – 3 8 2
  1. Schritt: Jetzt wird die 5 genommen. Der rechte Nachbar ist die 7. 7 + 5 = 12. Vorsicht nicht den Übertrag von vorher vergessen!! 12 + 1 = 13. Also wird die 3 angeschrieben und wieder ein Übertrag von 1 – – 3 3 8 2
  2. Schritt: Jetzt wird die 4 genommen. Rechter Nachbar ist die 5. Somit können wir rechnen: 5 + 4 + 1 = 10 Also wird die 0 hingeschrieben, die 1 wird mitgenommen – 0 3 3 8 2
  3. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 (die immer angefügt werden muss). Der rechte Nachbar ist die 4. Also 4 + 0 + 1 = 5 (Übertrag nicht vergessen)
5 0 3 3 8 2 Die letzte Aufgabe zum Üben in der Kurzform 3562 x 11 = 03562 x 11 = (0+3)(3+5)(5+6)(6+2)2 = 39182 Das nächste Mal werden wir uns beim Trachtenbergsystem mit der Multiplikation mit 12 beschäftigen.

Das Trachtenbergsystem und was dahinter steckt

Montag, 26 April 2010 09:00
Written by Admin_Kopfrechnen
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Heute wollen wir uns einmal etwas mit dem Trachtenberg System für das Kopfrechnen befassen. In der englischen Literatur wird es auch Trachtenberg Speed System genannt. Trachtenberg war ein russischer Ingenieur und Gründer des Mathematischen Instituts in der Schweiz. Er arbeitete an einem System, welches das Kopfrechnen extrem vereinfachen sollte. Dabei legte er sich die folgenden Regeln auf: Nur das kleine Einmaleins muss man kennen. Und selbst das nur bis zur Zahl 5. Ab Multiplikationen mit der Zahl 6 beginnen schon seine Regeln zu greifen. Das System umfasst die Multiplikation mit ein- und mehrstelligen Zahlen. Das Dividieren, das Addieren bzw. Subtrahieren und das Wurzel ziehen. Natürlich ist das System mathematisch erklärbar und kein Hokuspokus. Die Erläuterungen werde ich für alle Interessierten später einmal extra Einträge widmen. In meinen Augen ist der große Unterschied zu den anderen Methoden, die ich bereits erläutert habe, bzw. sich hier auf diesem Blog befinden, dass es beim Trachtenberg System nicht um das „Showrechnen“ selbst geht. Das Problem dabei ist nämlich, dass die Zahlen immer von hinten her berechnet werden. Dies stellt, wie ich schon oft erwähnt habe ein Problem dar. Man beginnt ja immer die Zahl von vorne zu lesen. Damit erscheint es dem Beobachter wieder langsamer, wenn man erst die ganze Zahl durchrechnen muss, um dann ein Ergebnis präsentieren zu können. Jedoch und warum ich vor allem an diesem System einen Gefallen gefunden habe: Es ist einfach unkompliziert. Bei den anderen Methoden zum Schnellrechnen muss man viel mit Erfahrungswerten arbeiten, muss viel auswendig wissen und gut abschätzen können. Dies ist hier alles nicht notwendig. Man kann einfach loslegen und innerhalb kürzester Zeit ist man Fähig Multiplikationen im Kopf zu berechnen von denen man sonst nur träumen konnte. Ein weiterer großer Vorteil des Trachtenberg Systems ist, dass es sehr einfach gehalten wurde und auch speziell dafür konzipiert wurde, Grundschülern beigebracht zu werden. Erfahrungsberichte zeigen (vor allem in Amerika) auf wie einfach Grundschüler multiplizieren können, nachdem das Trachtenberg-System in der Schule eingeführt wurde. Man erspart den Kindern das auswendig lernen von Multiplikationstabellen und erspart ihnen vielleicht somit auch die ersten schlechten Erinnerungen an die Mathematik. (Was wirklich schrecklich ist, wenn die Kinder schon in der Grundschule die Lust an diesem wunderbaren Fach verlieren und oft für ihr Leben „gezeichnet“ sind) Viele werden sich nun fragen: Was ist das Trachtenberg System denn jetzt überhaupt? Was kann man sich darunter vorstellen? Ein simples Beispiel dafür haben Sie bereits kennengelernt, wenn sie den Eintrag „Multiplikation mit der Zahl 11“ durchgearbeitet haben. Diese Methode ist sehr ähnlich. Nur das sie im Trachtenbergsystem etwas anders angewandt wird. Hier soll es ein Beispiel geben: 1253 x 11 = ? Nun heißt die Regel nicht, dass wir die letzte und erste Ziffer nehmen und jeweils wieder an den Rand schreiben, sondern folgender maßen: Man nimmt sich jeweils eine Ziffer und addiert den rechten Nachbarn zu dieser Ziffer. Man beginnt mit der rechten Seite (also von hinten) Eigentlich ganz einfach. Was genau gemeint ist, zeig ich Ihnen jetzt 1253 x 11 =
  1. Schritt:
Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben _ _ _ _ 3
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8 Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an. _ _ _ 8 3
  1. Schritt: Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7 Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an. _ _ 7 8 3
  2. Schritt: Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3 _ 3 7 8 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253 Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1 Somit 0 + 1 = 1 1 3 7 8 3
Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss. Haben Sie die Parallelen zu der bereits bekannten Methode gesehen? Hier sind wir so vorgegangen, dass wir einfach die die erste und die Letzte Zahl wieder abgeschrieben haben. Dies ist hier auch immer zwangsläufig der Fall. Denn die letzte Zahl hat keinen Nachbar, dass heißt diese bleibt immer so wie sie ist. Und die erste Zahl hat immer die 0 voran. Somit bleibt diese auch immer erhalten. Das soll erst einmal genug vom Trachtenberg System sein. Es gibt noch viele spannende Regeln, die ich alle nacheinander erläutern will. Zum Schluss gebe ich noch einen kurzen Überblick über die Regeln zur Multiplikation
  • Multiplizieren mit 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Multiplizieren zweistelligen Ziffern
  • Die Zwei Finger Methode

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