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Kopfrechnen und Quadrieren – Trachtenbergsystem

Montag, 28 Juni 2010 05:37
Written by Admin_Kopfrechnen
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Trachtenberg Speed System – Quadrieren zweistelliger Zahlen Das Quadrieren zweistelliger Zahlen im Trachtenbergsystem ist ein Kopfrechentrick, der genauso schnell zu lernen ist, wie die bereits genannten Regeln von Trachtenberg. Ich erkläre die Regeln direkt an einer Aufgabe: 24 x 24
  1. Regel: Multipliziere die letzte Ziffer mit sich selbst und schreibe die Zahl an. Sollte sich aus der Multiplikation eine zweistellige Ziffer ergeben, wird die  2. Ziffer als Übertrag hergenommen und nicht „angeschrieben“,  4 x 4 = 16 . Jetzt wird 6 angeschrieben und 1 gemerkt. (Die 1 wird dann bei der nächsten Rechnung mit einbezogen) _ _ 6
  2. Regel: Multipliziere die beiden Zahlen miteinander und verdoppele das Ergebnis.Das heißt in unserem Fall rechnen wir: 2 x 4 = 8. Das ganze verdoppelt ergibt 16. Jetzt das 1 gemerkt des ersten Rechenschritts nicht vergessen! Also 16 + 1 = 17. Jetzt wieder 7 angeschrieben und 1 gemerkt _ 7 6
  3. Regel: Multipliziere die erste Ziffer mit sich selbst und schreibe das Ergebnis an.Also in unserem Fall rechnen wir wieder: 2 x 2 = 4. Von vorher haben wir wieder einen Übertrag von 1. Also rechnen wir noch: 4 + 1 = 5. Die 5 wird angeschrieben576
Schon haben wir das richtige Ergebnis. Wollen wir gleich noch eine Aufgabe zur Festigung rechnen. 43 x 43
  1. Wir multiplizieren 3 x 3 = 9. Hier gibt es keinen Übertrag, also einfach 9 angeschrieben _ _ _ 9
  2. Wir multiplizieren 4 x 3 = 12 und verdoppeln das Ergebnis 12 x 2 = 24. Also schreiben wir die 4 an und merken uns 2 _ _ 4 9
  3. Jetzt multiplizieren wir noch die 4 mit sich selbst 4 x 4 = 16 und müssen noch die 2 gemerkt der vorherigen Rechnung mitnehmen, also 16 + 2 = 18. Das Ergebnis können wir direkt anschreiben 1 8 4 9
Wieder haben wir das Ergebnis blitzschnell bekommen. Kopfrechnen nach Trachtenberg zeichnet sich vor allem durch diese leichten Regeln aus, die einem die schriftliche sowie das Kopfrechnen enorm vereinfachen. Als letzte Möglichkeit zeige ich noch einen Weg, den mancher vielleicht gehen will, da er beim Kopfrechnen einfacher erscheint: Dazu wollen wir noch einmal eine Aufgabe berechnen. 62 x 62
  1. Wir rechnen wieder 2 x 2 = 4. Schreiben jetzt 04 an. 04
  2. Jetzt rechnen wir 6 x 2 = 12 und verdoppeln 12 x 2 = 24. Jetzt schreiben wir die 24 hin 24   04
  3. Jetzt rechnen wir noch 6 x 6 aus 36 und schreiben es erneut hin 36   24   04
Der letzte Schritt besteht draus, die Zahl jetzt nur noch richtig zusammen zusetzen. Dies können wir folgendermaßen machen. Wir setzten Klammern um die Zahlen die zusammen gerechnet werden müssen 3(6  2) (4  0) 4 Die beiden Zahlen in der Klammer addieren wir jetzt jeweils miteinander: 3 8 4 4 Und wir haben unser Ergebnis. Mit dieser Methode ist das Kopfrechnen ein leichtes, wollen wir noch mit einer Aufgabe abschließen um das Kopfrechnen zu üben 76 x 76 6 x 6 = 36 7 x 6 = 42  und 42 x 2 = 84 7 x 7 = 49 4(9 8) (4  3) 6  ->  5 7 7 6 Um das Kopfrechnen noch einmal erneut zu üben, können sie ja gerne die ersten Aufgaben noch einmal mit dieser Methode üben. Im nächsten Beitrag werden wir uns noch mit dem Quadrieren von 3 stelligen Zahlen im Trachtenbergsystem kümmern

Trachtenbergsystem – Kopfrechentrick Multiplikation mit 6

Donnerstag, 20 Mai 2010 05:39
Written by Admin_Kopfrechnen
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Heute kommt noch einmal ein Kopfrechentrick von Trachtenberg dran. Und zwar das Multiplizieren mit der Ziffer 6. Das Schema ist wieder identisch zu den anderen Beiträgen. Gegeben ist die Zahl 62202. Die wollen wir nur mit 6 multiplizieren. Dazu müssen wir wie bereits in den Artikeln Multiplizieren mit 11 und mit 12 die 0 an den vorderen Teil der Zahl anfügen, also 062202. Das Trachtenbergsystem gibt wieder eine eindeutige Regel vor, die nun bei jedem Schritt gleich ist. Diese lautet: „Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn“ Rechnen wir die Aufgabe einmal durch, dann sehen wir gleich was gemeint ist.
  1. Schritt: Wir nehmen die 2. Diese hat keinen Nachbarn: also wird sie einfach wieder angeschrieben
062202 x 6 = _ _ _ _ _ 2
  1. Schritt: Jetzt nehmen wir die 0 und addieren zu dieser Zahl die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Also die Hälfte von 2 ist 1. Die Rechnung lautet also 0 + 1 = 1 Also 1 an 062202 x 6 = _ _ _ _ 1 2
  2. Schritt: Jetzt nehmen wir die 2. Der rechte Nachbar ist die 0. Die Hälfte von 0 ist 0. Also wird die 2 angeschrieben. 062202 x 6 = _ _ _ 2 1 2
  3. Schritt: Jetzt kommt wieder die 2. Der rechte Nachbar ist diesmal auch eine 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Also lautet die Rechnung 2 + 1 = 3. Diesmal müssen wir 3 anschreiben 062202 x 6 = _ _ 3 2 1 2
  4. Schritt: Fast geschafft. Jetzt ist die 6 an der Reihe. Der Nachbar von 6 ist die 2. Also addieren wir wieder die 1 zur 6. 6 + 1 = 7. Somit müssen wir die 7 anschreiben 062202 x 6 = _ 7 3 2 1 2
  5. Schritt: Der letzte Schritt kommt wieder daher, dass wir die 0 an den Anfang der Zahl schreiben mussten. Dies also nicht vergessen. Sonst ist das Ergebnis nicht richtig. Jetzt nehmen wir die 0 und addieren die Hälfte des rechten Nachbarn hinzu, also die Hälfte von 6. Das ist 3. Somit lautet die Rechnung:  0 + 3 = 3. 3 wird angeschrieben 062202 x 6 = 3 7 3 2 1 2
373212 ist das Ergebnis von 62202 x 6. Sehr schön, die Methode war doch relativ einfach. Der aufmerksame Leser wird sich am Anfang jedoch gleich gefragt haben, was passiert denn, wenn wir eine ungerade Zahl haben. Dann gibt es ja keine ganzzahlige Hälfte. Daher müssen wir unsere Regel noch einmal erweitern. „Addiere zu jeder Zahl, die Hälfte ihres rechten Nachbarn. Wenn die Zahl ungerade ist addiere noch +5 dazu. Die Hälfte der ungeraden Zahl auf die kleinere Zahl abgerundet“ Dann wollen wir noch einmal eine Rechnung ausführen um die Anwendung dieser Regelerweiterung zu veranschaulichen. Nehmen wir 5321 x 6. Der erste Schritt besteht wieder darin die 0 an den Anfang zu schreiben. 05321 x 6
  1. Schritt: Die 1 wird genommen. Es gibt keinen rechten Nachbarn, also wird nichts dazu addiert. ABER: Die Zahl ist ungerade. Das heißt wir müssen + 5 dazu rechnen. Die Regel lautet ja addiere bei ungeraden Zahlen + 5 dazu. Also müssen wir hier 1 + 5 = 6 anschreiben 05321 x 6 = _ _ _ _ 6
  2. Schritt: Jetzt kommt die 2 dran. Der Nachbar ist die 1. Die Hälfte von 1 ist ja 0,5. Die Regel lautet: abrunden! Dass heißt wir addieren die 0 zur 2. Da die Zahl gerade ist, müssen wir nichts weiter addieren. Also 2 + 0 = 2 an. 05321 x 6 = _ _ _ 2 6
  3. Schritt: Die 3 ist eine ungerade Zahl. Das heißt wir müssen 5 dazu addieren. Der rechte Nachbar ist die 2. Die Hälfte von 2 ist 1. Somit lautet die Rechnung 3 + 5 + 1 = 9. 9 an. 05321 x 6 = _ _ 9 2 6
  4. Schritt: Jetzt kommt die 5. 5 ist ungerade also + 5. Der Nachbar ist die 3. Die Hälfte von 3 ist 1,5. Es wird abgerundet, also nehmen wir die 1. Die Rechnung lautet 5 +5 + 1= 11. Jetzt haben wir einen Übertrag. Also 1 an und 1 gemerkt 05321 x 6 = _ 1 9 2 6
  5. Schritt: Jetzt kommt noch die 0 dran. 0 ist gerade (ja ich weiß viel werden sagen die null ist weder gerade noch ungerade. Die Mathematische Definition von Gerade lautet aber: alle Zahlen die durch 2 teilbar sind. Und 0 ist eindeutig durch 2 teilbar.) Also 0 ist gerade. Wir müssen nichts dazu addieren, bis auf den rechten Nachbarn, dieser lautet 5. Die Hälfte von 5 ist 2,5. 2,5 abgerundet ergibt 2. Und jetzt den Übertrag nicht vergessen. Den wir noch von der letzten Rechnung hatten: Also 0 + 2 + 1 = 3 05321 x 6 = 3 1 9 2 6
Das Ergebnis lautet somit 31926 und stimmt. Mit diesem Kopfrechentrick können wir schon mit 11, 12 und 6 gut Kopfrechnen. Das Trachtenbergsystem wird natürlich weiter geführt. Bis dahin wünsche ich viel Spaß beim anwenden!

Das Trachtenbergsystem und was dahinter steckt

Montag, 26 April 2010 09:00
Written by Admin_Kopfrechnen
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Heute wollen wir uns einmal etwas mit dem Trachtenberg System für das Kopfrechnen befassen. In der englischen Literatur wird es auch Trachtenberg Speed System genannt. Trachtenberg war ein russischer Ingenieur und Gründer des Mathematischen Instituts in der Schweiz. Er arbeitete an einem System, welches das Kopfrechnen extrem vereinfachen sollte. Dabei legte er sich die folgenden Regeln auf: Nur das kleine Einmaleins muss man kennen. Und selbst das nur bis zur Zahl 5. Ab Multiplikationen mit der Zahl 6 beginnen schon seine Regeln zu greifen. Das System umfasst die Multiplikation mit ein- und mehrstelligen Zahlen. Das Dividieren, das Addieren bzw. Subtrahieren und das Wurzel ziehen. Natürlich ist das System mathematisch erklärbar und kein Hokuspokus. Die Erläuterungen werde ich für alle Interessierten später einmal extra Einträge widmen. In meinen Augen ist der große Unterschied zu den anderen Methoden, die ich bereits erläutert habe, bzw. sich hier auf diesem Blog befinden, dass es beim Trachtenberg System nicht um das „Showrechnen“ selbst geht. Das Problem dabei ist nämlich, dass die Zahlen immer von hinten her berechnet werden. Dies stellt, wie ich schon oft erwähnt habe ein Problem dar. Man beginnt ja immer die Zahl von vorne zu lesen. Damit erscheint es dem Beobachter wieder langsamer, wenn man erst die ganze Zahl durchrechnen muss, um dann ein Ergebnis präsentieren zu können. Jedoch und warum ich vor allem an diesem System einen Gefallen gefunden habe: Es ist einfach unkompliziert. Bei den anderen Methoden zum Schnellrechnen muss man viel mit Erfahrungswerten arbeiten, muss viel auswendig wissen und gut abschätzen können. Dies ist hier alles nicht notwendig. Man kann einfach loslegen und innerhalb kürzester Zeit ist man Fähig Multiplikationen im Kopf zu berechnen von denen man sonst nur träumen konnte. Ein weiterer großer Vorteil des Trachtenberg Systems ist, dass es sehr einfach gehalten wurde und auch speziell dafür konzipiert wurde, Grundschülern beigebracht zu werden. Erfahrungsberichte zeigen (vor allem in Amerika) auf wie einfach Grundschüler multiplizieren können, nachdem das Trachtenberg-System in der Schule eingeführt wurde. Man erspart den Kindern das auswendig lernen von Multiplikationstabellen und erspart ihnen vielleicht somit auch die ersten schlechten Erinnerungen an die Mathematik. (Was wirklich schrecklich ist, wenn die Kinder schon in der Grundschule die Lust an diesem wunderbaren Fach verlieren und oft für ihr Leben „gezeichnet“ sind) Viele werden sich nun fragen: Was ist das Trachtenberg System denn jetzt überhaupt? Was kann man sich darunter vorstellen? Ein simples Beispiel dafür haben Sie bereits kennengelernt, wenn sie den Eintrag „Multiplikation mit der Zahl 11“ durchgearbeitet haben. Diese Methode ist sehr ähnlich. Nur das sie im Trachtenbergsystem etwas anders angewandt wird. Hier soll es ein Beispiel geben: 1253 x 11 = ? Nun heißt die Regel nicht, dass wir die letzte und erste Ziffer nehmen und jeweils wieder an den Rand schreiben, sondern folgender maßen: Man nimmt sich jeweils eine Ziffer und addiert den rechten Nachbarn zu dieser Ziffer. Man beginnt mit der rechten Seite (also von hinten) Eigentlich ganz einfach. Was genau gemeint ist, zeig ich Ihnen jetzt 1253 x 11 =
  1. Schritt:
Man nimmt die 3. Diese hat jedoch keinen Nachbarn auf der rechten Seite. Dies bedeutet dann im eigentlichem Sinne „3 + 0“ à Also wird die 3 angeschrieben _ _ _ _ 3
  1. Schritt:
Jetzt nimmt man die 5. Der rechte Nachbar ist die 3. 5 + 3 = 8 Somit schreibt man als zweite Ziffer die 8 an. _ _ _ 8 3
  1. Schritt: Jetzt kommt die 2. Der rechte Nachbar ist die 5. Also 2 + 5 = 7 Somit schreiben wir als dritte Ziffer die 7 an. _ _ 7 8 3
  2. Schritt: Jetzt kommt die 1. Der rechte Nachbar ist die 2. Also 1 + 2 = 3 _ 3 7 8 3
  3. Schritt. Ausnahme!! Man muss sich vor der Zahl eine 0 denken! Also 01253 Das bedeutet wir nehmen die 0 und addieren den rechten Nachbar dazu. Die 1 Somit 0 + 1 = 1 1 3 7 8 3
Der letzte Schritt ist in dem Sinn keine Ausnahme. Man muss sich nur merken, dass man im Trachtenbergsystem vor die Zahl immer eine 0 schreiben muss. Was auch die logische Konsequenz ist, weil die 1 eben auch noch mit berücksichtig werden muss. Haben Sie die Parallelen zu der bereits bekannten Methode gesehen? Hier sind wir so vorgegangen, dass wir einfach die die erste und die Letzte Zahl wieder abgeschrieben haben. Dies ist hier auch immer zwangsläufig der Fall. Denn die letzte Zahl hat keinen Nachbar, dass heißt diese bleibt immer so wie sie ist. Und die erste Zahl hat immer die 0 voran. Somit bleibt diese auch immer erhalten. Das soll erst einmal genug vom Trachtenberg System sein. Es gibt noch viele spannende Regeln, die ich alle nacheinander erläutern will. Zum Schluss gebe ich noch einen kurzen Überblick über die Regeln zur Multiplikation
  • Multiplizieren mit 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Multiplizieren zweistelligen Ziffern
  • Die Zwei Finger Methode

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